轴旋转? 计算所得两个旋转体的体积? 解 绕x轴旋转所得旋转体的体积为
172128?? Vx???ydx???xdx??x0?00772226 绕y轴旋转所得旋转体的体积为 Vy?2???8???xdy?32????ydy
22008353 ?32???y?64??
055882313? 把星形线x2/3?y2/3?a2/3所围成的图形? 绕x轴旋转? 计算所得旋转体的体积?
解 由对称性? 所求旋转体的体积为 V?2??ydx?2??(a?x)dx
200aa23233 ?2??(a?3ax?3ax?x2)dx?32?a3?
0105a243232343 14? 用积分方法证明图中球缺的体积为
V??H2(R?H)?
3 证明 V??RR?H?x(y)dy???2RR?H(R2?y2)dy
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??(R2y?1y3)R?H??H2(R?H)?
33R
15? 求下列已知曲线所围成的图形? 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积?
(1)y?x2? x?y2? 绕y轴?
12151 解 V???ydy???(y)dy??(y?y)0?3??
0025101122 (2)y?achx? x?0? x?a? y?0? 绕x轴? aaa令x?au312 ?a?chudu 解 V???y2(x)dx???a2ch2xdx 000a313?a?a112u?2u2u?2u1 ??(e?2?e)du?(e?2u?e)0
404223?a(2?sh2)? ?4 (3)x2?(y?5)2?16? 绕x 轴? 解
V???(5?16?x)dx???(5?16?x2)2dx
22?4?444 ?40?16?x2dx?160?2?
0412 / 31
(4)摆线x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱? y?0? 绕直线y?2a? 解 V???0(2a)2dx???0(2a?y)2dx ?8a3?2???0[2a?a(1?cost)]2da(t?sint) ?8a3?2?a3??0(1?cost)sin2tdt?7a3?2? 16? 求圆盘x2?y2?a2绕x??b(b>a>0)旋转所成旋转体的体积?
解 V???(b?a?y)dy???(b?a2?y2)2dy
222?aa?aaa2?2?2a?2a? ?8b??0a2?y2dy?2a2b?2?
17? 设有一截锥体? 其高为h? 上、下底均为椭圆? 椭圆的轴长分别为2a、2b和2A、2B? 求这截锥体的体积?
解 建立坐标系如图? 过y轴上y点作垂直于y轴的平面? 则平面与截锥体的截面为椭圆? 易得其长短半轴分别为 A?A?ay? B?B?by?
hh截面的面积为(A?A?ay)?(B?B?by)??
hh于是截锥体的体积为
V??(A?A?ay)?(B?B?by)?dy?1?h[2(ab?AB)?aB?bA]? 0hh6h13 / 31
18? 计算底面是半径为R的圆? 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积?
解 设过点x且垂直于x轴的截面面积为A(x)? 由已知条件知? 它是边长为R2?x的等边三角形的面积? 其值为
A(x)?3(R2?x2)? 所以 V??R?R3(R2?x2)dx?43R3?
3 19? 证明 由平面图形0?a?x?b? 0?y?f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
V?2??xf(x)dx?
ab 证明 如图? 在x处取一宽为dx的小曲边梯形? 小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2?x?f(x)dx? 这就是体积元素? 即 dV?2?x?f(x)dx?
于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 V??2?xf(x)dx?2??xf(x)dx?
aabb 20? 利用题19和结论? 计算曲线y?sin x(0?x??)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积?
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解 V?2??xsinxdx??2??xdcosx?2?(?xcosx?sinx)0?2?2?
00??? 21? 计算曲线y?ln x上相应于3?x?8的一段弧的长度? 解 s??831?y?(x)dx??28381?x2121?()dx??dx?
3xx令1?x2?t? 即x?t2?1? 则 s??32331t1ln3?dt?dt?dt?dt?1?? 22???22222t?1t?122t?1t?13tt2 22? 计算曲线y?x(3?x)上相应于
31?x?3的一段弧的长度?
解 y?x?1xx? y??1?1x?
32x2 y?2?1?1?1x? 1?y?2?1(x?1)?
24x24x所求弧长为
331 s??(x?1)dx?1(2xx?2x)1?23?4?
21233x 23? 计算半立方抛物线y2?2(x?1)3被抛物线y2?x截得的一段弧
33的长度?
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