（1）z?xsinyy；（2）z?ln(xy)；（3）z?(1?xy). x2．求下列函数的二阶偏导数：
y22；（2）z?3x?y. xx23．设f(x,y)?x?(y?1)arcsin，求fx?(x,1).
y（1）z?arctan?2u?2u224．设函数u?f(r)二阶可导，且满足方程2?2?4，其中r?x?y，求f(r).
?x?y2[f(r)?r?C1lnr?C2]
多元函数微分学作业3
1．求下列函数的全微分： （1）z?xy?2．求函数z?x；（2）z?yyx2?y2；（3）z?x.
yy当x?2，y?1，?x?0.1，?y??0.2时的全增量和全微分. x[?z??0.119，dz??0.125]
333．计算(1.02)?(1.97)的近似值.[2.95]
?z?z?y2?2x，?2xy?3，且z(0,0)?0，求z?f(x,y)的表达式.
?y?x22[z?xy?x?3y]
4．已知
多元函数微分学作业4
1．设z?u，u?2x?3y，v?xy，求
2v?z. ?x2．求z?f(xy,2x?3y)的一、二阶偏导数.
22224323．已知f(x,x)?x?2x?x，f1?(x,x)?2x?2x?1，求f2?(x,x).[2x?2x?1]
?u?x?2y?2z?2z?2z?2z?0简化为?0，求常数a.[3] 4．设变换?可把方程62?2?v?x?ay?x?y?x?y?u?v?uu5．设z?f(x,y)具有二阶连续偏导数，x?ecosv，y?esinv，试证：
2?2z?2z?2z2u?z?2?e(2?2). 2?u?v?x?y多元函数微分学作业5
1．设
xz?z?z?ln，求、. zy?x?y2．设x?2y?z?2xyz?0，求dz.
?2z3．设z?3xyz?a，求.
?x?yf1??yzf2??z4．设z?f(x?y?z,xyz)，求.[]
?x1?f1??xyf2?zz5．设F(u,v)具有连续偏导数，证明由方程F(x?,y?)?0所确定的函数z?f(x,y)yx33 5
满足x?z?z?y?z?xy. ?x?y多元函数微分学作业6
231．在曲线x?t,y?t,z?t上求一点，使曲线在此点的切线平行于平面x?2y?z?1. [(?1,1,?1)或(?1/3,1/9,?1/27)]
?x2?y2?z2?62．求曲线?2在点(1,1,2)处的切线及法平面方程.[切向量平行于(0,?2,1)] 22?z?y?x?42223．求曲面ax?by?cz?1在点(x0,y0,z0)处的切平面方程.[axx0?byy0?czz0?1]
x24．求曲面z??y2平行于平面2x?2y?z?0的切平面方程.[2x?2y?z?3?0]
2xy5．试证曲面f(x?az,y?bz)?0上任一点处的切平面与直线L:??z平行，其中f可
ab微，a,b为常数.
多元函数微分学作业7
1．求函数f(x,y)?x?3xy?3xy?3x的极值.
[极小值f(2,1)??4，极大值f(?2,?1)?4]
2．某厂家生产两种产品Ⅰ和Ⅱ，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品Ⅰ与生产y单位的产品Ⅱ的总费用是：
322400?2x?3y?0.01(3x2?xy?3y2)（元）
假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？[x?120，y?80] 3．要造一个容积等于k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.[当长、宽都是32k，而高为32k/2时，表面积最小]
4．在第一卦限内作椭球面4x?4y?z?4的切平面，使它在三个坐标轴上的截距平方和最小，求该切平面的方程.[2x?2y?2z?4]
重积分作业1
1．画出积分区域，并计算下列二重积分：
222sinxd?，D由y?x，y?2x及x?2所围；[1?cos2] ??xD1162x4（2）??yed?，D由y?x，x?2及x轴所围；[(e?1)]
6D1322（3）??(x?y?x)d?，D由y?x，y?2x及y?2所围；[]
6D12（4）??ysinxd?，D由x?y，y?1及y轴所围；[(1?sin1)]
2D（1）（5）
143ed?x?y，由，及所围.[y?2(e?4e)] y?xD??2D?xy2．画出积分区域，并交换积分次序： （1）（3）
?40dx?tanx0（2）?dx?f(x,y)dy；
122x?x22?xf(x,y)dy；
?20dy?2yy2（4）?dy?f(x,y)dx；
022yyf(x,y)dx.
6
3．计算I?4．计算I??20dx?2xy1?y3yyxdy.[
14] 3yy2?1214dy?12edx??1dy?2231edx.[e?e]
821] 6yx5．求由平面x?y?1，曲面z?x?y及三坐标面所围立体的体积.[重积分作业2
1．化下列积分为极坐标形式的二次积分： （1）
?10dx?ex22x?x2x（2）?dy?f(x,y)dy；
012?yyf(x,y)dx.
2．利用极坐标计算下列二重积分： （1）（2）
???y2Dd?，D由圆周x2?y2?4所围；[?(e4?1)]
yd?，D由圆周x2?y2?1，x2?y2?4及直线y?0，y?x所围成的??Dx2在第一象限内的闭区域；[3?/64]
arctan??（4）??（3）
D(x?y)22?12d?，D由y?x2，y?x所围；[2?1]
D(x2?y2)d?，D由y?4x?x2，y?0所围.[12?]
223．求由曲面z?4?x?y与z?0所围立体的体积.[8?]
重积分作业3 1．化积分I?2???f(x,y,z)dv为三次积分，其中?分别是：
?222（1）由z?x?2y及z?3?2x?y所围； （2）由y?x，z?0及z?4?y所围. 2．计算三重积分[
2dxdydz，其中?由x?y?z?1及三坐标面所围. 3???(1?x?y?z)?15(ln2?)] 282223．求由曲面z?2?x与z?x?2y所围立体的体积.[?] 4．计算三重积分
32????xysinz4dv，其中?由y?x，y?2x，z??2及z?x所围.
22?1?4(1?cos)] [
1816重积分作业4
1．计算三重积分2．计算三重积分
224zx?y?2z?(e?1)] ，其中是由与所围区域.[edv?z?2???2????xz?x2?y2dv，其中?是由z?x2?y2与x2?y2?z2?2所围立
体区域在第一卦限部分.[1/12] 3．计算三重积分[128?/15]
7
2222z?4?x?y，其中是由与z?0所围区域. (x?y)dv?????4．求由曲面z?6?x?y与z?5．求由曲面z?1．计算曲面面积
22x2?y2所围立体的体积.[32?/3]
重积分作业5
2?x2?y2与z?x2?y2所围立体的体积.[4?(2?1)/3]
（1）双曲抛物面z?x?y被圆柱面x?y?1和x?y?4截出的部分； [?(1717?55)/6] （2）上半球面z?2222224?x2?y2在圆柱面x2?y2?2x内部的部分；[4(??2)]
2（3）曲面z?2?3x?2y，(x,y)?D，其中D是xOy面的三角形，其顶点分别为(0,0)，
(0,1)和(2,1).[(1326?510)/12]
x2y24b2．设一薄板所占的区域为D:2?2?1,y?0，且密度均匀，求此薄板的质心.[(0,)]
ab3?223．设?是由曲面z?2x?2y和平面z?4所围区域.一物体占有区域?，且密度均匀，求此物体的质心.[(0,0,8/3)]
曲线积分作业1
1．计算下列对弧长的曲线积分：
?（2）?（3）?（1）（4）
LLx3y2ds，其中L为半圆周x?4?y2；[256/15]
y2ds，其中L为摆线x?a(t?sint)，y?a(1?cost)的一拱；[256a3/15] yds，其中L为由直线y?x及抛物线x?y2所围成的区域的整个边界；
x2?y2L[(55?62?1)/12]
?3Leds，其中L为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一象限内所围扇形
a的整个边界.[e(2??a/4)?2]
22222．设L为球面x?y?z?a被平面x?y?z?0所截得的圆周，求I??Ly2ds.
[2?a/3]
曲线积分作业2
1．计算
?(x?y)dx?(y?x)dy，其中L是：
L（1）抛物线y?x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；[34/3] （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；[11]
（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；[14] （4）曲线x?2t?t?1，y?t?1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.[32/3]
222??2．设一个质点在M(x,y)处受到力F的作用，F的大小与M到原点O的距离平方成反比，?x2y2F的方向恒指向原点.此质点由点A(a,0)沿椭圆2?2?1按逆时针方向移动到点
ab?B(0,b)，求力F所作的功W.[k(b?1?a?1)]
曲线积分作业3
1. 计算曲线积分
??L(2xy?y2)dx?x2dy，其中L是由曲线y?1?x2与x轴所围区域
D的正向边界曲线.[4/3]
8
2．计算曲线积分
?L(y?x2y)dx?(x?xy2)dy，其中L是沿上半圆周y?2x?x2从原
点到点(2,0)的弧段.[?3?/4] 3．证明曲线积分[2?sin2]
4．设dz?(2?y?3x)dx?(2y?ax)dy，且z(0,0)?1，求常数a及z(x,y)的表达式. [a??1，z?2x?xy?x?y?1]
322?(1,1)(0,0)(3x2?y)dx?(4sin2y?x)dy与路径无关，并计算积分值.
xdy?ydx??22，其中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周
5．计算曲线积分I?Lx?y（R?1），取逆时针方向.[2?]
9
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