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原来平方数的尾数只能是1，4，5，6，9，0，而不会是2，3，7，8。所以，符合要求的数是17689。
例4 4983271的个位数字是几？
解：4983271的尾数与3271的尾数相同。让我们通过试算看一看3的乘方数的尾数有没有什么规律。
31＝3，尾数是3； 32＝9，尾数是9； 33＝27，尾数是7； 34＝81，尾数是1； 35＝243，尾数是3； 36＝729，尾数是9；
37＝2187，尾数是7； 38＝6561，尾数是1；??
原来，3的乘方数的尾数按照“3，9，7，1”的顺序，每4个数循环一次。而271÷4余3，所以4983271的个位数字是7。
为了全面掌握自然数a的n次方的尾数变化规律，请同学们完成下表： a的个位数字 a2的个位数字 a3的个位数字 a4的个位数字 a5的个位数字 a6的个位数字 a7的个位数字 a8的个位数字 0 1 2 3 9 7 1 3 9 7 1 4 5 6 7 8 9 例5 求一个自然数n，满足：n与200的和是一个平方数，n与292的和是另一个平方数。
解：设n＋292＝a2，n＋200＝b2，于是，a2－b2＝92。这里给同学们介绍一个平方差公式：a2－b2＝(a＋b)3(a－b)。这个公式很容易验证。如52－32＝(5＋3)3(5－3)。按照这个公式，要确定a、b的值，就要把92分解成(a＋b)3(a－b)的形式。92＝2334＝4632。 (1)取92＝2334，即a＋b＝23，a－b＝4，根据和差问题的解法，a＝(23＋4)÷2＝13.5，b＝(23－4)÷2＝9.5，a和b都不是整数，无解；
(2)取92＝4632，a＝(46＋2)÷2＝24，b＝(46－2)÷2＝22。
所以n＋292＝242，n＝576－292＝284。(或，n＋200＝222，n＝484－200＝284。) 例6 2006与一个三位数之和是平方数，求这样的三位数有多少个？
解：设这样的三位数为x，最小的三位数是100，而452＜2006＋100＜462，最大的三位数是999，而542＜2006＋999＜552，因此452＜x＜552。在45～55之间(不包括45和55)共有9个整数，所以共有9个三位数与2006之和是平方数。这9个三位数是：462－2006＝110，472－2006＝203，482－2006＝298，492－2006＝395，502－2006＝494，512－2006
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＝595，522－2006＝698，532－2006＝803，542－2006＝910。
练 习 九
1．请通过试验总结出：
(1)奇数的平方除以8有什么特征？
(2)偶数的平方除以4有什么特征？
2．判断：11，111，1111，11111这四个数中有没有平方数。 3．求287＋924的个位数字。
4．求151992＋161993＋171994的个位数字。 5．求25123326456327789的个位数字。 6．求1421－831的个位数字。
7．求一个自然数n，满足：n－562是一个平方数，n－637是另一个平方数。 8．一个三位数与1993的和是一个平方数，求这样的三位数有多少个？
9．200432004320043?32004÷2000，余数的尾数是多少？ 2004个2004
10．计算：1＋21＋22＋23＋?＋2100。
11．计算：20042＋20032＋20022＋20012＋20002－19992－19982－19972－19962。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)
12．计算：20012－20002＋19992－19982＋?＋32－22＋1。(“《小学生学习报》杯”竞赛题)
第十讲 整除性
关于数的整除特征(判断法)，常用的有： 一． 末位数字是偶数的整数能被2整除； 二． 末位数字是0或5的整数能被2整除；
三． 末两位数字是4(或25)的倍数的整数能被4(或25)整除； 四． 末三位数字是8(或125)的倍数的整数能被8(或125)整除； 五． 各位数字之和能被3(或9)整除的整数能被3(或9)整除；
六．一个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差(以大减小)能被11整除，则这个数能被11整除；
例1 老师报出一个四位数，要求同学们先把这个四位数的数码顺序倒排，得到一个新的四位数，再把这两个四位数相加，所出得数。甲、乙、丙、丁四个同学，甲报出的答数是9898，乙报出的答数是9998，丙报出的答数是9988，丁报出的答数是9888。
已知这四位同学所报的答数中，只有一位同学的答数是正确的，那么做对的同学是谁？ 解：设老师报出的四位数是abcd，数字顺序倒排后得到的新四位数就是dcba，它们的
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和是
abcd＋dcba＝1001a＋110b＋110c＋1001d。
因为1001、110都是11的倍数，所以这两个四位数的和能被11整除，而经检验，9898、9998、9988、9888四个数中，只有9988能被11整除，所以做对的同学是丙。
例2 桌面上有 11 张纸。小华把其中的一些张都剪成 12 小张。?然后不分是原来的还是已经剪过的, 又把其中的一些张都剪成12 小张。照这样剪了几次以后, 他数了一下, 大小纸片一共是153张。他数的对吗? 为什么?
解: 无论怎样剪, 每剪完一张, 张数总是增加 12－1＝11。因此, 最后的张数应该等于原来的 11 加上 11 的倍数, 即总张数仍然是 11 的倍数。而 153 奇位数字的和是 1＋3＝4, 偶位数字的和是 5, 5－4＝1,1不能被11整除, 所以 153 不是 11的倍数, 可以肯定地说他数错了。
如果他数的误差不算太大的话, 你想正确的张数应该是多少?
例3 有A、B两个数，A是B的1.75倍，这两个数的和是一个三位数，并且这个三位数能被7整除。A、B这两个数分别是多少？
解：因为A＝1.75，等式两边同时乘4，得4A＝7B，由此可知A是7的倍数，B是4的倍数。因为这两个数的和能被7整除，即A＋B是7的倍数，由此推知B也是7的倍数。B既是4的倍数，又是7的倍数，所以B应该是28的倍数。28的倍数有：28、56、84、?? (1)当B＝28时，A＝2831.75＝49，A＋B＝28＋49＝77，不是三位数，不符合要求； (2)当B＝56时，A＝5631.75＝98，A＋B＝56＋98＝154，是一个三位数，并且154能被7整除，符合要求；
(3)当B＝84时，A＝8431.75＝147，不是两位数，不符合要求，同时推知当B＞84时，都不符合要求。
所以，A、B两个数，一个是是98，另一个是56。
例4 林琳有若干张(至少有6张)长与宽都是整数厘米的相同纸片。如果像左下图排列，则总长度为78cm；如果像右下图排列，则总长度为104cm。那么，林琳共有纸片 张。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)
?? ?? 78cm 104cm
解：从左上图可知纸片的张数是78的约数，78大于6的约数有13、26、39、78；从右上图可知纸片的张数为偶数，所以纸片的张数为78或26。
(1)如果是78张，由左上图可知，纸片的宽是78÷78＝1(厘米)。把右上图一竖一横两张纸片看作一组，应该有78÷2＝39(组)，于是纸片的长与宽的和是104÷39，得数不是整
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数，不符合题意；
(2)如果是26张，由左上图可知，纸片的宽是78÷26＝3(cm)。由右上图可知，长与宽的和是104÷(26÷2)＝8(cm)，长是8－3＝5(cm)，符合题意。
所以，林琳共有26张纸片。
练 习 十
1．如果四位数9a8a能被15整除，那么a代表的数字是几？
2．在3□2□的方框里填入合适的数字，使这个四位数能15整除，这样的四位数中最大的是多少？
3. 桌面上有 5 张纸片, 取出一些张, 每张都剪成 7 张较小的纸片, 再放回桌面。照这样取出剪小再放回??若干次后, 桌上的纸片总数会不会正好是 2005?
4．下面是某校购买72只簸箕和77只拖布的发票。由于不小心浸水，烘干后发现发票上的一些数字模糊不清了，每一个模糊不清的数字用□表示，请恢复发票中□内的数字。
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品名 簸箕 拖布 数量 72 77 单位 把 把 合计金额(元) □□能被12整除，末两位数有多少种情况？
6．六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是多少？
7．若三位数2a3加上326等于另一个三位数5b9，而5b9能被9整除，那么a＋b的值是多少？
8. 217□是一个四位数，使得它能被3整除，那么填入方框中的数字最多有多少种可能？
9．有三个连续的四位自然数，中间一个为完全平方数，并且三个数的和能被15整除，那么中间的数最小是多少？
10．从0、2、4、6、9这五个数字中选四个数字，可以组成多少个能同时被2、3、5整除的四位数？
11．一个三位数能被3整除，去掉它的末位后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是多少？
12．首位是9，其余各位数字各不相同，并能被6整除的七位数中，最小的是多少？
第十一讲 奇数与偶数
奇数和偶数有下面一些显而易见的运算特性:
奇数±奇数＝偶数 偶数±偶数＝偶数 偶数±奇数＝奇数 奇数±偶数＝奇数 奇数3奇数＝奇数 奇数3偶数＝偶数
单价(元) □.□□ □.□□ 总价(元) □□7.7□ 3□□.7□ □□3□.5 5 ．六位自然数1082
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