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偶数3偶数＝偶数
利用这些性质能够解决一些意想不到的问题。
例 1 某校学生校服男装有 5 个扣子, 女装有 4 个扣子。如果学生总人数是奇数, 扣子总数是偶数, 那么, 女生人数是奇数还是偶数?
解：学生总数是奇数, 男女生人数肯定是一个奇数、一个偶数。女装扣子数是偶数, 无论女生人数是奇数还是偶数,扣子总数都是偶数。因此只有男生扣子总数是偶数时, 男女生扣子总数才是偶数。而男装扣子数是奇数, 所以男生人数一定是偶数,由此断定女生人数一定是奇数。
例 2 七只茶杯口朝上放在桌面上, 每次翻转 4 只,?能不能使所有的茶杯都变成口朝下? 为什么?
解：一只茶杯翻转偶数次杯口的方向不变, 翻转奇数次方向改变。要使 7 只茶杯的杯口方向全部改变,翻转的总次数应该是 7个奇数的和, 即总次数是奇数, 而每次翻转 4 只茶杯,无论翻转多少次, 翻转的总次数都是偶数, 因此,?所提的要求无法实现。
例 3 左下图是一张中国象棋盘, ?上面这只“马”跳奇数次能不能回到原来的位置上?
马 马
解：把棋盘上所有的落子点分成带黑点的和不带黑点的两类(右上图),使两类点的位置相间，就像把整数分成奇数和偶数两类一样。现在“马”在带黑点的点上, 每跳一次点的种类改变一次, 因此跳了奇数次以后, 落子处点的种类必然与原来不同, 所以不可能回到原来的位置上。
例 4 在一张纸上画了 34 个方格(左下图), 能不能用一些两个方格连在一起的小纸片把所有的方格全部盖住并且没有重叠?
解：把方格涂色(右上图), 共得到 16 个黑格子和 18 个白格子。?小纸片相当于一个黑格子连着一个白格子, 因此无论怎样排列最后总会剩下 18－16＝2(个)连不到一起的白格子, 所以提出的要求不可能实现。
上面使用的方法叫“染色法”, 是奇偶数相间性的巧妙应用。
练 习 十 一
1. 做出判断并说明理由。
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(1)从 1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9 这十个数中, 能不能选出五个数, 使它们的和等于 20 ? 为什么?
(2)平面上有七个点,任意三点都不在一条直线上,能不能从每个点都只引出三条直线与其它的点相连？为什么?
(3)五枚硬币, 三枚国徽向上, 两枚国徽向下。每次翻转两枚硬币, 能不能使所有硬币的国徽都向下? 为什么?
(4)把十张扑克排成一圈, 能不能做到只有五处相邻的两张扑克是一正一反? 为什么?
(5)某班有 7 行单人课桌, 每行 7 张, 每个同学用一张。能不能找到一种调换座位的方法，使每个同学都和他的邻桌交换一下座位?
(6)在方框里只填加减号, 使等式成立, 能做到吗? 为什么? 1□2□3□4□5□6□7□8□9＝20
2. 20个自然数总和是100, 其中奇数比偶数多，最多有几个偶数?
3．桌面上4枚硬币向上的一面都是“数字”，另一面都是“国徽”，如果每次翻转3枚硬币，至少要多少次才能使向上的一面都是“国徽”？
4．某城市举行小学数学竞赛，试卷共有20道题。评分标准是：答对一题给3分，不答给1分，答错一题扣1分。请你说明：无论多少人参加，所有参赛学生的得分总和一定是偶数。
5. A、B、C、D、E 五盏灯, 只有 B、D 亮着,如果从 A 到 E依次轮流把开关拨 38 次，最后哪几盏灯是亮着的?
6. 一次象棋比赛共 15 人参加, 有人统计出场 5 次的 5 人, 4 次的 4 人, 3 次的 3 人, 2 次的 2 人, 1 次的 1 人, 这个统计对吗?
7. 两个阅览室, 东室每张桌子 2 盏灯, 西室每张桌子 3 盏灯, 如果两个阅览室合起来桌子的总数、灯的总数都是奇数, 那么哪个阅览室的桌子数是奇数？
8．一次数学竞赛共 20 道题, 对一题得 2 分,错一题扣 1分, ?没有做的题不得分。小明得了 23 分, 已知他有偶数道题没有做, 他对了几道? 错了几道??几道没有做?
9. 左下图是一张画有 14 个方格的纸片, 能不能把它剪成 7 块, ?每块都是两个方格连在一起?
10. 右上图是某个湖区的地图, 图中的曲线表示湖岸线。
A
B
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(1) 如果 A 点在岸上, B 点是在岸上还是在水中?
(2) 某人过这的湖区, 他下水时脱鞋上岸时穿鞋。如果 A 点在水中, 他从A 点到 C 点脱鞋与穿鞋的次数的和是的奇数, C点是在岸上还是在水中?
11．能不能将自然数1到9分别填入下图的方格中，使得每一横行中三个数的和都是偶数？
12. 某展览馆有 25 间展室如图, 相邻的两间展室都有门相通。有人从左上角那间展室
开始, 打算不重复地把所有展室参观一遍还回到原来那间展 室, 这可能吗?
第十二讲 质数与质因数
例1 请在下列(A)～(E)中找出3个连续两位数的积。 (A)1321 (B)12144 (C)980100 (D)5812 (E)44568 (2002年日本奥赛题) 解：用排除法。
(1)三个连续两位数中必然有一个数是偶数，而1321不是偶数，所以，(A)不符合题意； (2)三个连续两位数中必然有一个数能被3整除，而5812不能被3整除，所以(D)不符合题意；
(3)980100＞941094＝97398399，所以980100不可能等于3个连续两位数的积； (4)44568＝233323619，而619是质数，所以44568不可能等于3个连续两位数的积； (5)12144＝2433311323＝22323324，符合题意。 所以应该选择(B)。
例2 有一个六位数ABABAB，这个六位数乘以4080的结果，等于六个连续自然数的积，这六个连续自然数的和是 。(哈尔滨第十三届“未来杯”竞赛题)
解：ABABAB34080＝AB31010134080,而1010134080＝243323537313317337＝3433533633732313，如果AB＝57＝3319，就有，
ABABAB34080＝343353363373231333319
＝343353363373(2319)3(3313)
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＝34335336337338339。
所以，这六个连续自然数的和是
34＋35＋36＋37＋38＋39＝219。
例3 在下面的算式中，A、B是两个自然数，C、D、E、F代表4个0～9的不同数字，那么A＋B的最小值是多少？(2003年全国奥赛题)
..B ＝0.CDEF
A解：根据纯循环小数化分数的法则：以循环节的数字为分子，循环节有几个数字，就由几个9连在一起组成分母。于是，CDEF＝
..CDEF。 9999为了使A＋B的值最小，显然要进行约分。9999＝3333113101，约分后的分母可能是3，9，11，33，99，101，303，909，1111，3333。可是，当分母是3，9，11，33，99时，试算发现，无论分子是多少，所化成的小数，循环节都不是四个不同数字，而其余几个数101，303，909，1111，3333都是101的倍数，所以A只能是101的倍数。为了使A＋B最小，取A＝101，B＝1，2，3，??，当B＝1时,
1＝0.00990099??，循环节也不是101..2四个不同数字；当B＝2时，＝0.0198，循环节是四个不同数字，符合题意，因此，A
101＋B的最小值是101＋2＝103。
例4 360这个数的约数有多少个？所有这些约数的和是多少？
解：根据约数公式：如果自然数N＝pa3qb3rc3?3tk，那么N就有(a＋1)3(b＋1)3(c＋1)3?3(k＋1)个约数。
这是因为，一个数的约数除了1以外，都是由它的一个质因数或若干个质因数相乘得到的，在求N的约数时，质因数p可以“不取”、“取1个”、“取2个”、“取3个”??“取a个”，共有a＋1种选择；同理，质因数q有b＋1种选择；质因数r有c＋1种选择；??质因数t有k＋1种选择。按照乘法原理，N就有个(a＋1)3(b＋1)3(c＋1)3?3(k＋1)个约数。(当所有的质因数都不取时，对应的约数就是1。)
因为360＝23232333335＝2333235，所以360的约数有(3＋1)3(2＋1)3(1＋1)＝24(个)。
根据约数和公式：如果自然数N＝pa3qb3rc3?3tk，那么N的所有约数的和等于(1＋p＋p2＋p3＋?＋pa)3(1＋q＋q2＋q3＋?＋qb)3(1＋r＋r2＋r3＋?＋rc)3?3(1＋t＋t2＋t3＋?＋tk)。
这个公式很容易验证，这里就不再加以说明了。
所以，360的所有约数的和是(1＋2＋22＋23)3(1＋3＋32)3(1＋5)＝1170。 试试看：60有多少个约数？所有这些约数的和是多少？
练 习 十 二
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