1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编
1、集合部分
2019A 2、若实数集合?1,2,3,x?的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，
则x的值为 ．
3◆答案：?
2★解析：假如x?0，则最大、最小元素之差不超过max?3,x? ，而所有元素之和大于max?3,x?，不符合条件．故x?0，即x为最小元素．于是3?x?6?x，解得x??
2019B1. 若实数集合?1,2,3,x?的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x的值
3。 2为 ． ◆答案：?3
★解析：条件等价于1,2,3,x中除最大数以外的另三个数之和为0 ．显然?0，从而1?2?x?0，得x??3．
1,2,3,?,99?，2018A1、设集合A??集合B??2x|x?A?，集合C??x|2x?A?，则集合B?C的
元素个数为 ◆答案：24
★解析：由条件知，B?C??2,4,6,?,48?，故B?C的元素个数为24。
2018B1、设集合A??2,0,1,8?，集合B??2a|a?A?，则集合A?B的所有元素之和是 ◆答案： 31
★解析:易知B??4,0,2,16?，所以A?B??0,1,2,4,8,16?，元素之和为31.
1,2,?,n?，X,Y均为A的非空子集（允许X?Y）2018B三、（本题满分50分）设集合A??．X中的最大元与Y中的最小元分别记为maxX,minY．求满足maxX?minY的有序集合对(X,Y)的数目。
★解析:先计算满足maxX?minY的有序集合对(X,Y)的数目.对给定的m?maxX，集合X是
1,2,?,m?1?的任意一个子集与?m?的并，故共有2集合?因此，满足maxX?minY的有序集合对(X,Y)的数目是：
m?1种取法.又m?minY，故Y是
?m,m?1,m?2,?,n?的任意一个非空子集，共有2n?1?m?1种取法.
??2?2m?1m?1nn?1?m?1??2??2m?1??n?1??2n?1
nm?1m?1??nn由于有序集合对(X,Y)有2n?12n?1?2n?1个，于是满足maxX?minY的有序集合对
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??????2
(X,Y)的数目是2n?1?n?2n?2n?1?4n?2n?n?1?
??2
2017B二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N分拆为k个互不相交的子集A1,A2,?,Ak，每个子集Ai中均不存在4个数a,b,c,d（可以相同），满足
?ab?cd?m．
★证明：取k?m?1，令Ai?{xx?i(modm?1),x?N?}，i?1,2,设a,b,c,d?Ai，则ab?cd?i?i?i?i?0(modm?1)，
,m?1
故m?1ab?cd，而m?1m，所以在Ai中不存在4个数a,b,c,d，满足ab?cd?m
1,2,3,4,5?，b1,b2,?,b20??1,2,3,?,10?，集合2017B四、（本题满分50分）。设a1,a2,?,a20??X??(i,j)|1?i?j?20,(ai?aj)(bi?bj)?0?，求X的元素个数的最大值。
★解析：考虑一组满足条件的正整数(a1,a2,对k?1,2,因此至少有
52tk,a20,b1,b2,,b20)
,5，设a1,,a20中取值为k的数有tk个，根据X的定义，当ai?aj时，(i,j)?X，
?Ck?152tk个(i,j)不在X中，注意到
?tk?15k?20，则柯西不等式，我们有
555111512022C??(t?t)??((t)?t)??20?(?1)?30 ?????kkkk22525k?1k?1k?1k?1k?12从而X的元素个数不超过C20?30?190?30?160
另一方面，取a4k?3?a4k?2?a4k?1?a4k?k（k?1,2,，bi?6?ai（i?1,2,,5）
， ,20）
2则对任意i,j（1?i?j?20），有(ai?aj)(bi?bj)?(ai?aj)((6?ai)?(6?aj))??(ai?aj)?0
22等号成立当且仅当ai?aj，这恰好发生5C4?30次，此时X的元素个数达到C20?30?160
综上所述，X的元素个数的最大值为160.
2016B四、（本题满分50分）设A是任意一个11元实数集合．令集合B??uv|u,v?A,u?v?求B的元素个数的最小值．
★解析：记A??a1,a2,?,a11?，不妨设a1?a2???a11
①若ai?0?1?i?11?恒成立；由于a1a2?a2a3?a2a4???a2a11?a3a11???a10a11， 这里显然可以发现有18个数在B中，即B?18
②若a1?a2???ak?0?ak?1?ak?1???a11，其中k?5时，由于
akak?1?akak?2???aka11?ak?1a11?ak?2a11???a2a11?a1a11有10个非负数；
又ak?2ak?3?ak?2ak?4???ak?2a11?ak?3a11?ak?4a11???a10a11有17?2k个正数， 故此时，B?10?17?2k?27?2k?17，当k?5时，Bmin?17，如
A?0,?1,?2,?22,?23,?24，B?0,?1,?2,?22,?23,?24,?25,?26,?27,?28满足； ③若a1?a2???ak?0?ak?1?ak?1???a11，其中k?6时，由于
akak?1?akak?2???aka11?ak?1a11?ak?2a11???a2a11?a1a11有10个非负数；
又a1?a2???a6?0，则a5a6?a5a4?a5a3?a5a2?a5a1?a4a1?a3a1?a2a1有8个正数，
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????
故此时，B?10?8?18
④若ai?0?1?i?11?恒成立；同①显然可以发现有18个数在B中，即B?18； 综上。B的元素个数的最小值为17.
2015AB10、（本题满分20
分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得
31???|1?i?j?4??24,?2,?,?,1,3?，求a1?a2?a3?a4的值。 ?ij28??★解析：由条件可知，aiaj(1?i?j?4)是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，
?aaa1,a2,a3,a4的绝对值互不相等，不妨设|a1|?|a2|?|a3|?|a4|，则|ai||aj|(1?i?j?4)中最小的
与次小的两个数分别是|a1||a2|及|a1||a3|，最大与次大的两个数分别是|a3||a4|及|a2||a4|，从
1?aa??,?128??而必须有?a1a3?1, 10 分
?a2a4?3,???a3a4??24,113,a3?,a4???24a1． 于是a2??8a1a1a2132故{a2a3,a1a4}?{?2,?24a1}?{?2,?}，15分
8a121结合a1?Q，只可能a1??．
41111由此易知，a1?,a2??,a3?4,a4??6或者a1??,a2?,a3??4,a4?6．
4242检验知这两组解均满足问题的条件． 故a1?a2?a3?a4??9． 20 分 4
2015A二、（本题满分40分）设S??A1,A2,?,An?，其中A1,A2,?,An是n个互不相同的有限集合（n?2），满足对任意的Ai,Aj?S,均有Ai?Aj?S，若k?minAi?2.证明：存在x?1?i?n?Ai?1ni，
n个集合（这里X表示有限集合X的元素个数）。 k★证明：不妨设|A1|?k．设在A1,A2,,An中与A1不相交的集合有s个，重新记为B1,B2,,Bs，设包含A1的集合有t个，重新记为C1,C2,,Ct．由已知条件，(BiA1)?S，即(BiA1)?{C1,C2,,Ct}，这样我们得到一个映射
使得x属于A1,A2,?,An中至少 f:{B1,B2,,Bs}?{C1,C2,,Ct},f(Bi)?BiA1．
显然f是单映射，于是，s?t． 10 分 设A1?{a1,a2,,ak}．在A1,A2,???,An中除去B1,B2,,Bs，C1,C2,,Ct后，在剩下的n?s?t个
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杳然