一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数y= （k＞0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；
（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数________． 【答案】（1）解：如图1，
当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时， ∵OC=0D=1，
∴正方形ABCD的边长CD= 设小正方形的边长为a，
易得CL=小正方形的边长=DK=LK，故3a=CD= 解得a=
，所以小正方形边长为
，
或 ．
；∠OCD=∠ODC=45°，
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，
∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为
（2）解：如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2﹣m， ∴OF=BF+OB=2，
∴C点坐标为（2﹣m，2）， ∴2m=2（2﹣m），解得m=1． 反比例函数的解析式为y= ． （3）（3，4）；y=﹣ x2+ ；偶数
【解析】【解答】解：（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合 ①当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+
；
②当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在， ③当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在 ④当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+
；
⑤当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时，另一个顶点C的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣
；
⑥当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；
∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的， ∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．
【分析】解答此题时，要特别注意认真读题，分析题意，注意已知条件点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点。
（1）一次函数y=x+1的图像与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，正确画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标，从而计算出正方形的边长；
（2）由于ABCD是正方形，添加辅助线，作DE，CF分别垂直于x、y轴，得到的等腰直角三角形都是全等的，再利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，从而可以求解；
（3）抛物线的开口可能向上，也可能向下，当抛物线的开口向上时，正方形的另一个顶点也在抛物线上，这个点可能在（3，4）的左侧，也可能在（3，4）的右侧 ，因此过点（3，4）作x轴的垂线，利用全等三角形确定线段的长， 即可求出抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也一样分两种情况来讨论；由抛物线的伴侣正方形的定义知一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，因此所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数。
2．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△ABH面积．
【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2， ∴CO=2，即C（0，2），
把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，
，解得
∵点A的横坐标是1，
∴当x=1时，y=4，即A（1，4），
把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4， ∴反比例函数解析式为y=
，
∴一次函数解析式为y=2x+2，
（2）解：解方程组 ∴B（﹣2，﹣2）， 又∵A（1，4），BH⊥y轴，
，可得 或
，
∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．
【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，
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