2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学(供文科考生使用)
如果事件A,B互斥,那么P?A?B??P?A??P?B? 如果事件A,B相互独立,那么P?A?B??P?A??P?B?
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
P?Ckkn?k?np?1?p?n?k?k?0,1,2,???,n?
球的表面积公式S?4πR2,其中R表示球的半径; 球的体积公式V?43πR3,其中R表示球的半径
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合A??a,b?,B??b,c,d?,则AUB?( )
A.?b?
B.?b,c,d?
C.?a,c,d?
D.?a,b,c,d?
2.?1?x?7的展开式中x2的系数是( )
A.21 B.28 C.35 D.42
3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲,乙,丙,丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人,若在甲,乙,丙,丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A.101 B.808 C.1212 D.2012 4.函数y?ax?a?a?0且a?1?的图象可能是( )
yyyy111111O1xOxO1xOxABCD5.如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE?1,连结EC,ED,则sin?CED?( )
DCA.310105510 B.10 C.10 D.15 6.下列命题正确的是( )
EABA.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行.
7.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a|a|?b|b|成立的充分条件是( ) A.|a|?|b|且aPb B.a??b C.aPb D.a?2b
?x?y??3? 8.若变量x,y满足约束条件??x?2y?12,则z?3x?4y的最大值是( ?2x?y?12)
??x?0,y?0A.12 B.26 C.28 D.33
9.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M?2,y0?.若点M到该抛物线焦
点的距离为3,则|OM|?( )
A.22 B.23 C.4 D.25 10.如图,半径为R的半球O的底面圆O在平面?内,过点O作平
AB面?的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD作与平面?成45?D角的平面与半球面相交,所得交线上到平面?的距离最大的点为PB,该交线上的一点P满足?BOP?60?,则A,P两点间的球面距O离为( )
?CA.Rarccos2πR34 B.4 C.Rarccos3 D.πR3
11.方程ay?b2x2?c中的a,b,c???2,0,1,2,3?,且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
A.28条
B.32条 C.36条 D.48条
12.设函数f?x???x?3?3?x?1,?an?是公差不为0的等差数列,f?a1??f?a2??????f?a7??14,则a1?a2?????a7?( )
A.0 B.7 C.14 D.21 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
D1C1 13.函数f?x??1A11?2x的定义域是________(用区间表示)
B1N14.如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面DMC直线A1M与DN所成的角的大小是________
AB 15.椭圆x2y2a2?5?1(a为定值,且a?5)的左焦点为F,直线x?m与椭圆相交于点A,B,?FAB的
周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是________ 16.设a,b为正实数.现有下列命题:
①若a2?b2?1,则a?b?1;②若11b?a?1,则a?b?1;
③若|a?b|?1,则|a?b|?1;④若|a3?b3|?1,则|a?b|?1. 其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p的值;
(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.
18.(本小题12分)已知函数f?x??cos2x2?sinxx12cos2?2. (1)求函数f?x?的最小正周期和值域; (2)若f????3210,求sin2?的值.
19.(本小题12分)如图,在三棱锥P?ABC中,?APB?90?,?PAB?60?,AB?BC?CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上.
(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小;
P(2)求二面角B?AP?C的大小. C
AOB
20.(本小题12分)已知数列?an?的前n项和为Sn,常数??0,且?a1an?S1?Sn对一切正整数n都成立.
(1)求数列?an?的通项公式;
(2)设a1?0,??100,当n为何值时,数列{lg1a}的前n项和最大? n
21.(本小题12分)如图,动点M与两定点A??1,0?,B?1,0?构成?MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设直线y?x?m?m?0?与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|?|PR|,求|PR||PQ|的取值范围. yM AOBx
,n为自然数,抛物线y??x2?an21.(本小题14分)已知a为正实数2与x轴正半轴相交于点A.设
f?n?为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.
(1)用a和n表示; (2)求对所有n都有
f?n??1f?n??1?nn?1成立的a的最小值; (3)当0?a?1时,比较1f?1??f?n?1f?1??f?2??1f?2??f?4??????1f?n??f?2n?与6??f?0??f?1?的大
小,并说明理由.
2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学(供文科考生使用)答案
1、D[解析]集合A中包含a,b两个元素，集合B中包含b,c,d三个元素，共有a,b,c,d四个元素，所以A?B?{a、b、c、d}
[点评]本题旨在考查集合的并集运算，集合问题属于高中数学入门知识，考试时出题难度不大，重点是掌握好课本的基础知识. 2、A[解析]二项式(1?x)7展开式的通项公式为Tkkk?1=Cx，令k=2，则T3?C2、x277 ?x2的系数为C27?21
[点评]高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通
项公式，其次需要强化考生的计算能力.
3、B[解析]N=96?21?9612?25?9612?43?9612?808 [点评]解决分层抽样问题，关键是求出抽样比，此类问题难点要注意是否需要剔除个体. 4、C[解析]采用特殊值验证法. 函数y?ax?a(a?0,a?1)恒过（1,0），只有C选项符合.
[点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用. 5、[答案]B
[解析]?AE?1，正方形的边长也为1?ED?AE2?AD2?2EC?（EA?AB）2?CB2?5CD?1
222?cos?CED?ED?EC-CD2ED?EC?31010sin?CED?1?cos2?CED?1010[点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.
6、C[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确. [点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
7、D[解析]若使ab|a|?|b|成立，则a与b方向相同，选项中只有D能保证，故选D. [点评]本题考查的是向量相等条件?模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，
其模为0且方向任意.
8、C[解析]目标函数z?3x?4y可以变形为y??3z34x?4，做函数y??4x的平行线，
当其经过点B（4,4）时截距最大时，即z有最大值为z?3x?4y=3?4?4?4?28.
[点评]解决线性规划题目的常规步骤：
一列（列出约束条件）、二画（画出可行域）、三作（作目标函数变形式的平行线）、四求（最优解）. 9、B[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（
p2,0），准线方程为x=?p2, ?M在抛物线上，?M到焦点的距离等于到准线的距离，即?（2-p2p22）?y20?（2?2）?3
解得：p?1,y0?22?点M（2,22），根据两点距离公式有：?|OM|?22?(22)2?23[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M
到准线的距离).
10、A [解析]以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x、
y、z轴，则
A?COS?AOP?AO?PO2
BR2?4
D2213P A(2R,0,2R),P(2R,2R,0)
αCO??AOP?arccos24?AP??R?arccos2[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础
4
知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功. 11、B[解析]方程ay?b2x2?c变形得x2?ab2y?cb2，若表示抛物线，则a?0,b?0 所以，分b=-2,1,2,3四种情况：
?a?1,c?0,或2,或??a??2,c?0,或1,或3（1）若b=-2，?3?a?2,c?0,或1,或3 ; （2）若b=2,
??a?1,c??2,或0,或3 ?a?3，c?0,或1,或2??a?3，c??2,或0,或1以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条.
综上，共有14+9+9=32种
[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 12、D[解析]∵{an}是公差不为0的等差数列，且f(a1)?f(a2)?????f(a7)?14
∴[(a31?3)?a1?1]?[(a2?3)3?a2?1]???[(a7?3)3?a7?1]?14 ∴(a1?a2??a7)?7?14 ∴a1?a2??a7?21
[点评]本小题考查的知识点较为综合，既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用，解
决此类问题必须要敢于尝试，并需要认真观察其特点.
第二部分 （非选择题 共90分）
二、13、[答案]（-?，） [解析]由分母部分的1-2x>0，得到x∈(-?，）.
??32?32 所以cos（???）。 cos（??）?，452410[点评]定义域问题属于低档题，只要保证式子有意义即可，相对容易得分.常见考点有：分母不为0；
（2）由（1）知，f（?）=
1212?2,2?2?，?。………6分 所以f（x）的最小正周期为2?，值域为??co（sx?）24??22?偶次根下的式子大于等于0；对数函数真数大于0；0的0次方没有意义. D1C114、[答案]90o [解析]方法一：连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 所以，DN⊥平面AA1B11MD1，
N又A1M?平面A1MD1，所以，DN⊥A1D1，故夹角为90o
方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DDD1为x, y, z轴，建立空间直角坐MC标系D—xyz.设正方体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）ABA1（2,0,2）故，DN?（0,2,1），MA1?（2，?1,2） 所以，cos
1[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决. 15、[答案]
22c23[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又?a?c2?5?c?2,?e?a?3 [点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 16、[答案] ①④
[解析]若a,b都小于1，则a-b<1，若a,b中至少有一个大于等于1， 则a+b>1,
由a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ，所以，a-b<1 故①正确.
对于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1，若a,b中至少又一个大于等于1，则a2+ab+b2>1,则|a-b|<1 若a,b都小于1，则|a-b|<1，所以④正确.综上，真命题有 ① ④ .
[点评]此类问题考查难度较大，要求对四个备选项都要有正确的认识，需要考生具备扎实的数学基础，平时应多加强这类题的限时性练习.
三、17（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那1-P（C）=1-
110P=4950 ，解得P=15（2）设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D, 那么P(D)=C21?(1?1)2?(1?1)39722433101010?1000?250 答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250. ………………12分.
[点评]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 18、（1）由已知，f（x）=cos2x2?sinx2cosx2?12 ?12（1?cosx）?112sinx?2 所以sin2???cos（?2?2?）??cos（2???4）?1?2cos（2???1874）?1?25?25，………12分 [点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想.
19、[解析]（1）连接OC. 由已知，?OCP为直线PC与平面ABC所成的角
设AB的中点为D，连接PD、CD.因为AB=BC=CA,所以CD?AB. 因为?APB?90?，?PAB?60?，所以?PAD为等边三角形， P不妨设PA=2，则OD=1，OP=3, AB=4.
C所以CD=23，OC=OD2?CD2?1?12?13. Rt?OCP中，tan?OPC?OP339AOC?13?13.…………6分 B（2）过D作DE?AP于E，连接CE.由已知可得，CD?平面PAB.据三垂线定理可知，CE⊥PA，
所以，?CED为二面角B—AP—C的平面角. 由（1）知，DE=3，在Rt△CDE中，tan?CED?CDDE?233?2 故二面角B—AP—C的大小为arctan2 …………………………………12分
[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤：一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值）. 20、[解析]取n=1,得?a1?2s1?2a1,a1(?a1?2)?0
若a1=0,则s1=0, 当n?2时，an?sn?sn?1?0,所以an?0 若a1?0，则a1?2?, 当n?2时，2a2n???sn,2an?1?2??sn?1,
上述两个式子相减得：an=2an-1,所以数列{an}是等比数列 综上，若a1 = 0, 则a2nn?0若a1?0，则an?? …………………7分
（2）当a1>0,且??100时，令b1n?lga,所以，bn?2?nlg2 n所以，{b100n}单调递减的等差数列（公差为-lg2），则 b1>b2>b3>…>b6=lg26?lg10064?lg1?0
当n≥7时，bn≤b7=lg10027?lg100128?lg1?0故数列{lg1}的前6项的和最大. ……12分
，an[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
21、[解析]（1）设M的坐标为（x,y），当x=-1时，直线MA的y斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在。 M于是x≠1且x≠-1.此时，MA的斜率为
yX?1，MB的斜率为yx?1. A由题意，有y·y=4化简可得，4x2OBxX?1x?1-y2-4=0
故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0（x≠1且x≠-1）……4分
（2）由??y?x?m22
?4x2?y2?4?0消去y，可得3x-2mx-m-4=0. (﹡) 对于方程(﹡)，其判别式?=（-2m)2－4×3（-m2-4）=16m2+48>0，而当1或-1为方程（*）的根时，m的值为-1或1.结合题设（m>0）可知，m>0，且m≠1 设Q、R的坐标分别为（XQ,YQ）,(XR,YR),则为方程（*）的两根. 2因为PQ?PR,所以
Xm?2m2?3Q?XR，XQ?3,Xm?2m?3P?3
21?3m2?1所以
PR?XPPQX??1?2R21?3。此时1?3,且1?3m121?32?m2?1m2?1m2?2
所以1?1?2?3,且1?2?521?3m2?121?3m2?13 所以1?PRXRRPQ?X?3,且PR?X?5PPQXP3
综上所述，
PRPQ的取值范围是（1，53）?（53，3） …………………………12分 [点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。
?n
?22、[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为
?
?a??
2,0???
，对y??x2?1any'??2x
?
2求导得则抛物线在点A切线方程为：y??2an(x?ann2),即y??2ax?an.则f(n)?an …4分
n（2）由（1）知f(n)=
an,则f(n)?1n?2n?f(n)?1?n?1成立的充要条件是an?2n?1即知，a1，
对于所有的n成立，特别地，当n=1时，得到a≥3，
（3）当a=3，n≥1时，
an?3n?(1?2)n?1?C1n.2???2n?1
f(n)?1当n=0时，
an(n)?1?n=2n+1.故a=3时fn?1对所有自然数n均成立.
所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分 （4）由（1）知f(k)=ak
下面证明：
1f(1)?f(2)?1f(2)?f(4)???1f(n)?f(2n)?6.f(1)?f(n?1)f(0)?f(1)
首先证明0 当0?x?23时,g'(x)<0; 当23?x?1时，g'(x)?0 故g（x）在区间（0，1）上的最小值g(x)21min?g(3)?9?0 所以，当0
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