自主招生一 运动学训练
一、微元法
1．如图所示，一个身高为h的人在灯以悟空速度v沿水平直线行走。设灯距地面高为H，求证人影的顶端C点是做匀速直线运动。
解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。设某一时间人经过AB处，再经过一微小过程△t（△t→0），则人由AB到达A′B′，人影顶端 C点到达C′点，由于△SAA′=v△t则人影顶端的移动速度
HvC?lim?SCC??t?t?0?lim?t?0H?h?t?SAA??HvH?h
可见vc与所取时间△t的长短无关，所以人影的顶端C点做匀速直线运动.
2．如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D，BC段水平，当以恒定水平速度V拉绳上的自由端时，A沿水平面前进，求当跨过B的两段绳子的夹角为α时，A的运动速度。 （VA＝
V1?cos?）
3．如图1-4-4所示，一个半径为R的环（环心为O2）立在水平面上，另一个同样大小的环（环心为O1）以速度v从前一环的旁边经过。试求当两环的环心相距为d（2R?d?0）时，两环上部的交点A的运动速度。两环均很薄，可以认为两环是在同一平面内，第二个环是紧贴着第一个环擦过去的。
图1-4-5 解析：经过一段极短的时间?t，交点由A点移至C点，如图1-4-5所示，由于交点是在不动的环上由A点移至C点，所以交点的移动速度必沿不动圆环的切线方向。另一方面，交点的水平方向上的坐标总是与两环心连线中点的坐标相同，并且在任何一段时间内交点的水平位移总是等于环心O1的水平位移的一半，则此交点速度的水平分量是vAx?所以vA?Rv4R?d2212v又因为 vA?vAxsin?且sin??R?(d/2)R22，
二、相对运动
运动的合成包括位移、速度和加速度的合成。一般情况下把质点对地面上静止的物体的运动称为绝对运动，质点对运动参照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动，由坐标系的变换公式 vA对B?vA对C?vC对B 可得到 v绝对?v相对?v牵连。
位移、加速度也存在类似关系。
运动的合成与分解，一般来说包含两种类型，一类是质点只有绝对运动，如平抛物体的运动；另一类则是质点除了绝对运动外，还有牵连运动，如小船过河的运动。解题中难度较大的是后一类运动。求解这类运动，关键是列出联系各速度矢量的关系式，准确地作出速度矢量图。
4．如图所示，一串相同汽车以等速v沿宽度为c的直线公路行驶，每车宽均为b，头尾间距均为a，求人能以最小速率沿一直线穿过马路所用时间。 t=
c(a+b)22abν5．二直杆交角为?，交点为A，若二杆各以垂直于自身的速度v1、v2沿着
纸平面运动，如图1-4-8所示。则交点A运动速度的确大小为多大？
解法一：设经过t时间后，a、b杆运动到如图1-4-9所示的位置，a发生的位移是AM?v1t；b发生的位移是AN?v2t，A点的位移是AA??vt。在三角形ABA?中，由数学知识可得AA?2?AB2?A?B2?2AB?A?Bcos? 即 (vt)?(所以 v?2v1tsin?1)?(22v2tsin?2)?22v1v2t22sin?cos?
sin?解法二：假设b杆不动，则a对平面的速度在沿b杆方向的分速度是v1v2v1??；同理，v2??，所以A点的速度为
sin?sin?v1?v2?2v1v2cos? v????v2??2v1?v2?cos? v11sin?v1?v2?2v1v2cos? 2222图1-4-9 点评：解法一是从位移的角度来求解，解法二是从速度的分解和合成的角度来求解。对同一物理问题，往往会有多种解法，我们在学习过程中，要学会更多的一题多解的方法，提高自己的解题能力。
6．两相同的正方形铁丝框如图1-4-6所示放置，并沿对角线方向分别以速度v和2v向两侧运动，问两框交点M的运动速度应为多少？
解析：交点M既在a?a??杆上也在b?b??杆上，vM应为M点分别在a?a??和b?b??杆上对地速度v1、v2的合成。设右框不动，左框以v向左运动，M参与了相对框架沿a?a??的运动，随框架一起以v向左运
0动，速度矢量图如图1-4-7所示，则v1?vcos45 0同理，可得v2?2vcos45
图1-4-6 因此，交点M??arctanv1v2?26.6
0的运动速度为v?v1?v2?22102v
图点评：通过这道例题，我们要认真领会“线状交叉物系交叉点的速度是相交物系双方沿双方切向运动的矢量和”的意义，真正掌握物系相关速度的求解方法。
三、递推法 7．小球从高h0?180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g取10m/s）
解析 小球从h0高处落地时，速率v0?2gh0?60m/s
2
1n(n?2)，
第一次跳起时和又落地时的速率v1?v0/2
2第二次跳起时和又落地时的速率v2?v0/2
…第m次跳起时和又落地时的速率vm?v0/2m 每次跳起的高度依次h1? v122g?h0n2,h2?v222g?h0n4，
…通过的总路程?s?h0?2h1?2h2???2hm??
?h0?2h0n2(1?1n2?1n224????51n2m?2)??
?h0?
2h02n?1n?13经过的总时间为?t?t0?t1?t2???tm??
?h0?n?1h0?300m
自主招生二 力学训练
1．半径为R的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR，且弹性绳圈的劲度系数为k，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图3—5所示，若平衡时弹性绳圈长为
2?R，求弹性绳圈的劲度系数k
.解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中
每一小段△m两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m作为研究对象，进行受力分析.但是△m受的力不在同一平面内，可
以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙.
先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m所对的圆心角是△θ，则每一小段的质量
???m?M △m在该平面上受拉力F的作用，合力为
2??????? T?2Fcos()?2Fsin22???F?? 因为当θ很小时，sin??? 所以T?2F2再看正视图3—5—乙，△m受重力△mg，支持力N， 二力的合力与T平衡.即 T??mg?tan?
2?R2现在弹性绳圈的半径为 r??R
2?2所以 sin??因此T=?mg?rR??2??22??45? tan??1
??2?Mg?F??，
Mg ①、②联立，
Mg2?解得弹性绳圈的张力为： F?
2?R??R?(2?1)?R
设弹性绳圈的伸长量为x 则 x?所以绳圈的劲度系数为：k?Fx?
Mg2(2?1)?R2?(2?1)Mg2?R2
2．一质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.
2
解析：因为向心力F=mrω，当ω一定时，r越大，向心力越大，所以要想求最大张力T所对应的角速度ω，r应取最大值.
如图3—6所示，在圆环上取一小段△L，对应的圆心角
??M，受圆环对它的张 为△θ，其质量可表示为?m?2???2??mr? 力为T，则同上例分析可得 2Tsin2因为△θ很小，所以sin??2???2，即
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