高等数学B教案第八章

高等数学B教案—李惠 第八章 空间解析几乎与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数

教学目的：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点：

1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程；

4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件； 5、点到直线以及点到平面的距离； 6、常用二次曲面的方程及其图形；

7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 教学难点：

1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算； 2、平面方程和直线方程及其求法；

3、空间曲线在坐标面上的投影 4、点到直线的距离； 5、二次曲面图形；

6、旋转曲面及柱面的方程。

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高等数学B教案—李惠 第八章 空间解析几乎与向量代数

§8?1 向量及其线性运算

一、教学目的与要求：

1． 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2． 掌握向量的线性运算、掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 二、重点（难点）：向量概念、向量的运算 三、教学方式：讲授式教学结合多媒体

讲授内容： 一、向量概念

向量：既有大小? 又有方向? 这一类量叫做向量?

在数学上? 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量? 有向线段的长度表示向量的大小? 有向线段的方向表示向量的方向.? 向量的符号?

以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB? 向量可用粗体字母表示? 也可用上加箭头书写体字母表示? 例如? a、r、v、F或a、r、v、F?

自由向量? 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向? 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量? 并称这种向量为自由向量? 简称向量? 因此? 如果向量a和b的大小相等? 且方向相同? 则说向量a和b是相等的? 记为a ? b? 相等的向量经过平移后可以完全重合? 向量的模? 向量的大小叫做向量的模?

向量a、a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB|? 单位向量? 模等于1的向量叫做单位向量?

零向量? 模等于0的向量叫做零向量? 记作0或0? 零向量的起点与终点重合? 它的方向可以看作是任意的?

向量的平行? 两个非零向量如果它们的方向相同或相反? 就称这两个向量平行? 向量a与b平行? 记作a // b? 零向量认为是与任何向量都平行?

当两个平行向量的起点放在同一点时? 它们的终点和公共的起点在一条直线上? 因此? 两向量平行又称两向量共线?

类似还有共面的概念? 设有k(k?3)个向量? 当把它们的起点放在同一点时? 如果k个终点和公共起点在一个平面上? 就称这k个向量共面? 二、向量的线性运算

1．向量的加法

向量的加法? 设有两个向量a与b? 平移向量使b的起点与a的终点重合? 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和? 记作a+b? 即c?a+b . 三角形法则

平行四边形法则?

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当向量a与b不平行时? 平移向量使a与b的起点重合? 以a、b为邻边作一平行四边形? 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a?b? ?

?c C ?b

?b D ?c ?a C

A

?a

B

A

B

向量的加法的运算规律? (1)交换律a?b?b?a?

(2)结合律(a?b)?c?a?(b?c)? ?

由于向量的加法符合交换律与结合律? 故n个向量a1? a2? ? ? ?? an(n ?3)相加可写成 a1?a2? ? ? ??an?

并按向量相加的三角形法则? 可得n个向量相加的法则如下? 使前一向量的终点作为次一向量的起点? 相继作向量a1? a2? ? ? ?? an? 再以第一向量的起点为起点? 最后一向量的终点为终点作一向量? 这个向量即为所求的和?

负向量? 设a为一向量? 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量? 记为?a? 2.向量的减法?

我们规定两个向量b与a的差为

b?a?b?(?a)?

即把向量?a加到向量b上? 便得b与a的差b?a? ? 特别地? 当b?a时? 有

???a b ??b?a

????a b

b?a

a?a?a?(?a)?0?

显然? 任给向量AB及点O? 有 AB?AO?OB?OB?OA?

因此? 若把向量a与b移到同一起点O? 则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a的差b?a ?

三角不等式?

由三角形两边之和大于第三边的原理? 有

|a?b|?|a|?|b|及|a?b|?|a|?|b|?

其中等号在b与a同向或反向时成立? 3．向量与数的乘法

向量与数的乘法的定义?

向量a与实数?的乘积记作?a? 规定?a是一个向量? 它的模|?a|?|?||a|? 它的方向当?>0时与a相同? 当?<0时与a相反?

当??0时? |?a|?0? 即?a为零向量? 这时它的方向可以是任意的?

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???????高等数学B教案—李惠 第八章 空间解析几乎与向量代数

特别地? 当???1时? 有

1a?a? (?1)a??a?

运算规律?

(1)结合律 ?(?a)??(?a)?(??)a； (2)分配律 (???)a??a??a； ?(a?b)??a??b?

例1? 在平行四边形ABCD中? 设AB?a? AD?b?

试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD? 其中M是平行四边形对角线的交点?

解：由于平行四边形的对角线互相平分? 所以 a?b?AC?2AM? 即 ?(a?b)?2MA? 于是 MA??1(a?b)?

2 因为MC??MA? 所以

???????????????

?????????????????????D?bC

M?????????MC?1(a?b)?

2??? 又因?a?b?BD?2MD? 所以MD?1(b?a)? A 2????????? 由于MB??MD? 所以MB?1(a?b)?

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向量的单位化? ?

?aB

设a?0? 则向量a是与a同方向的单位向量? 记为ea?

|a|于是a?|a|ea?

向量的单位化? ?

设a?0? 则向量a是与a同方向的单位向量? 记为ea?

|a|于是a ? | a | ea?

定理1 设向量a ? 0? 那么? 向量b平行于a的充分必要条件是? 存在唯一的实数?? 使 b ? ?a? 证明? 条件的充分性是显然的? 下面证明条件的必要性?

|b| 设b // a? 取|?|?? 当b与a同向时?取正值? 当b与a反向时?取负值? 即b??a? 这是因为此时b

|a|与?a同向? 且 |?a|?|?||a|?|b||a|?|b|? |a| 再证明数?的唯一性? 设b??a? 又设b??a? 两式相减? 便得 (???)a?0? 即|???||a|?0? 因|a|?0? 故|???|?0? 即????

给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴? 设点O及单位向量i确定了数轴Ox? 对于轴上任

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