高中数学必修+选修知识点归纳
新课标人教A版
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一、集合
1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总
体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个
集合相等。
3、 常见集合：正整数集合：N*或N?，整数集合：
3、全集、补集？CUA?{x|x?U,且x?U} §1.2.1、函数的概念
1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应
关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f?x?和它对应，那么就称f:A?B为集合A到集合B的一个函数，记作：y?f?x?,x?A.
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值
域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法：
(1)定义法：设x1、x2?[a,b],x1?x2那么
Z，有理数集合：Q，实数集合：R.
4、集合的表示方法：列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任
意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是
集合B的子集。记作A?B.
2、 如果集合A?B，但存在元素x?B，且x?A，
则称集合A是集合B的真子集.记作：AB. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：
空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有2个子
集，2?1个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成
的集合，称为集合A与B的并集.记作：A?B. 2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合，称为A与B的交集.记作：A?B.
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nf(x1)?f(x2)?0?f(x)在[a,b]上是增函数； f(x1)?f(x2)?0?f(x)在[a,b]上是减函数.
步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设x1,x2??a,b?且x1?x2，则：
f?x1??f?x2?=…
(2)导数法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，若f?(x)?0，则f(x)为增函数； 若f?(x)?0，则f(x)为减函数. §1.3.2、奇偶性
1、 一般地，如果对于函数f?x?的定义域内任意一个
nx，都有f??x??f?x?，那么就称函数f?x?为
偶函数.偶函数图象关于y轴对称.
2、 一般地，如果对于函数f?x?的定义域内任意一个
x，都有f??x???f?x?，那么就称函数f?x?为
奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义： 函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在
那么f(x0)是极小值. 6、求函数的最值 a?1 0?a?1 图 象 1-4-210-1 -4-20-1 P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方
程是y?y0?f?(x0)(x?x0).
2、几种常见函数的导数 '①C?0；②(x)?nx'n'n?1 (1)定义域：R 性 （2）值域：（0，+∞） 质 （3）过定点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数 (5)x?0,a?1; x?0,0?a?1 xx(5)x?0,0?a?1; x?0,a?1 xx；
' (1)求y?f(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值） (2)将y?f(x)的各极值点与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。 §2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果x?a，那么x叫做a 的n次方根。
其中n?1,n?N?. 2、 当n为奇数时，nan?a； 当n为偶数时，a?a. 3、 我们规定： ⑴anm③(sinx)?cosx； ④(cosx)??sinx； ⑤(a)?alna； ⑥(e)?e；
x'xx'x11'⑦(logax)?；⑧(lnx)?
xlnax'n3、导数的运算法则 （1）(u?v)?u?v. （2）(uv)?uv?uv.
''''''u'u'v?uv'(v?0). （3）()?2vv4、复合函数求导法则 复合函数y?f(g(x))的导数和函数
y?f(u),u?g(x)的导数间的关系为yx??yu??ux?，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义：
极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值；
极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＞f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值. (2)判别方法：
①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，
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nn?a
*mnyy=ax?a?0,m,n?N ⑵a?n,m?1； ?0
??s?ars?a?0,r,s?Q?；
rr⑶?ab??ab?a?0,b?0,r?Q?.
r§2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象：y?a?a?0,a?1?
x
y 图 -12.51.5a?1 2.51.50?a?1 10.5100.5象 -0.51-10-0.51-1-1-1.5-1.5-2-2.5 -2-2.5 (1)定义域：（0，+∞） 性 （2）值域：R ，即x=1时，y=0 质 （3）过定点（1，0）（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
2、性质： §2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
y=logax0
2、性质：
§2.2.1、对数与对数运算
x1、指数与对数互化式：a?N?x?logaN；
2、对数恒等式：alogaN?N.
§3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程f?x??0有实根
?函数y?f?x?的图象与x轴有交点 ?函数y?f?x?有零点. 2、 零点存在性定理： 如果函数y?f?x?在区间?a,b? 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f?a??f?b??0，那么函数
3、基本性质：loga1?0，logaa?1.
4、运算性质：当a?0,a?1,M?0,N?0时： ⑴loga?MN??logaM?logaN；
?M?⑵loga???logaM?logaN；
N??n⑶logaM?nlogaM.
y?f?x?在区间?a,b?内有零点，即存在c??a,b?，
使得f?c??0，这个c也就是方程f?x??0的根. 第一章：空间几何体 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
5、换底公式：logab?logcb logcamlogab n?a?0,a?1,c?0,c?1,b?0?.
6、重要公式：loganb?7、倒数关系：logab?m1?a?0,a?1,b?0,b?1?.
logba§2..2.2、对数函数及其性质
1、记住图象：y?logax?a?0,a?1?
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⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影
的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么
它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
3、空间几何体的表面积与体积 11、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，
那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑴圆柱侧面积；S侧面?2??r?l
⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。
⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直：
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面
角，就说这两个平面互相垂直。
⑵圆锥侧面积：S侧面???r?l
⑶圆台侧面积：S侧面???r?l???R?l ⑷体积公式：
⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个
平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。
直线与方程
1、倾斜角与斜率：k?tan??2、直线方程： ⑴点斜式：y?y0?k?x?x0? ⑵斜截式：y?kx?b
V柱体?S?h；V锥体?1S?h； 3V台体?1S上?S上?S下?S下h 3??y2?y1
x2?x1⑸球的表面积和体积：
4S球?4?R2，V球??R3.
3第二章：点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条
直线在此平面内。
⑶两点式：
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它
们有且只有一条过该点的公共直线。
y?y1y2?y1? x?x1x2?x1⑷截距式：
xy??1 ab4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这
两个角相等或互补。
⑸一般式：Ax?By?C?0 3、对于直线： 6、线线位置关系：平行、相交、异面。
7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。
l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2⑴l1//l2??有：
8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行：
⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则
该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。
?k1?k2；
?b1?b2⑵l1和l2相交?k1?k2； ⑶l1和l2重合??10、面面平行：
⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
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?k1?k2；
?b1?b2⑷l1?l2?k1k2??1.
4、对于直线： 的位置关系有三种:
有：
l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0⑴l1//l2??d?r?相离???0; d?r?相切???0;
?A1B2?A2B1；
BC?BC21?12d?r?相交???0.
弦长公式：l?2r2?d2
⑵l1和l2相交?A1B2?A2B1； ⑶l1和l2重合???1?k2(x1?x2)2?4x1x2 3、两圆位置关系：d?O1O2 ⑴外离：d?R?r；
⑵外切：d?R?r；
⑶相交：R?r?d?R?r； ⑷内切：d?R?r； ⑸内含：d?R?r.
3、空间中两点间距离公式： ?A1B2?A2B1；
?B1C2?B2C1⑷l1?l2?A1A2?B1B2?0.
5、两点间距离公式： P1P2??x2?x1?2??y2?y1?2
6、点到直线距离公式： P1P2??x2?x1?2??y2?y1?2??z2?z1?2
d?Ax0?By0?CA?B227、两平行线间的距离公式： l1：Ax?By?C1?0与l2：Ax?By?C2?0平行，
则d?C1?C2A?B22
统计
1、抽样方法： ①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显） 注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，
n每个个体被抽到的机会（概率）均为。
N2、总体分布的估计： ⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 ⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计： x?x?x???xn⑴平均数：x?123；
n取值为x1,x2,?,xn的频率分别为p1,p2,?,pn，则其平均数为x1p1?x2p2???xnpn；
注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差：一组样本数据x1,x2,?,xn
第四章：圆与方程 1、圆的方程： ⑴标准方程：?x?a???y?b??r2
22其中圆心为(a,b)，半径为r.
⑵一般方程：x?y?Dx?Ey?F?0. 其中圆心为(?22D222、直线与圆的位置关系
,?E)，半径为r?12D2?E2?4F. 直线Ax?By?C?0与圆(x?a)?(y?b)?r
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1方差：s2?n?(xi?1n2i?x)；
标准差：s?1n?(xi?1n2i?x)
⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，
即：P(A?B)?P(A)?P(B)
⑷如果事件A1,A2,?,An彼此互斥，则有： P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)???P(An) ⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。 ①事件A的对立事件记作A
P(A)?P(A)?1,P(A)?1?P(A)
注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 ⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：y?bx?a（最小二乘法）
n?xiyi?nxy??i?1??b?n2注意：线性回归直线经过定(x,y)。 2?x?nx?i?i?1???a?y?bx②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事
件。
?必修4数学知识点 第一章：三角函数 §1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角?终边相同的角的集合：
第三章：概率
1、随机事件及其概率： 随机事件A的概率：P(A)?m,0?P(A)?1. n??????2k?,k?Z?.
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度
的角. 2、 ??2、古典概型： ⑴特点：
①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率P(A)?m. nl. r3、弧长公式：l?n?R??R. 180
3、几何概型： ⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个； ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式：P(A)?d的测度；
D的测度n?R21?lR. 4、扇形面积公式：S?3602§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设?是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P?x,y?，那么：sin??y,cos??x,tan??2、 设点A?x,yy x那么：（设?为角?终边上任意一点，
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、
体积等。
4、互斥事件： ⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件； ⑵如果事件A1,A2,?,An任意两个都是互斥事件，则称事件A1,A2,?,An彼此互斥。
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r?x2?y2）
sin??xyxycot?? cos??，tan??，，
yrrx
3、 sin?，cos?，tan?在四个象限的符号和三角
函数线的画法. yT P
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 OMAx1、 平方关系：
sin2??cos2??1.
2、 商数关系：tan??sin?cos?. 3、 倒数关系：tan?cot??1
§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为“奇变偶不变，符号看象限”k?Z）1、 诱导公式一：
sin???2k???sin?,cos???2k???cos?,（其中：k?Z） tan???2k???tan?.2、 诱导公式二：
sin???????sin?, cos???????cos?,
tan??????tan?.
3、诱导公式三：
sin??????sin?, cos?????cos?,
tan??????tan?.4、诱导公式四：
sin??????sin?, cos???????cos?,
tan???????tan?.
§1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象：
5、诱导公式五：
sin????2????
??cos?,
cos????2??????sin?.6、诱导公式六：
sin???????? ?2?cos?,
cos????2???????sin?.§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象： y=sinxy?37 -5???2-2122 -4?-7?-3?-2?-3?-?o??2?5?3?4?x 22-122 y=cosxy -5??3?7? -3?2-?-21?23?2-4?-7?-2?-3?-1o?2?5?4?x 22222、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定
义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.
y?sinx在x?[0,2?]上的五个关键点为：
（0，0）（，?3?2，1）（，?，0）（，2，-1）（，2?，0）.
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yy=tanx-3?2-?-?2o?2?3?2x
3、正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
周期函数定义：对于函数f?x?，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f?x?T??f?x?，那么函数f?x?就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 y?sinx y?cosx y?tanx 图象 定义域 值域 x?2k?? R [-1,1] ?2R [-1,1] {x|x??2?k?,k?Z} R 无 ,k?Z时，ymax?1最值 x?2k???2 ,k?Z时，ymin??1x?2k?,k?Z时，ymax?1x?2k???,k?Z时，ymin??1 周期性 奇偶性 2T?2? 奇 在[2k???,2k???]上单调递增 2T?2? 偶 在[2k???,2k?]上单调递增 T?? 奇 单调性 在(k???,k???)上单调递增 22k?Z 在[2k???,2k??3?]上单调递减 在[2k?,2k???]上单调递减 22?对称性 对称轴方程：x?k?? 2k?Z 对称中心(k?,0) 对称轴方程：x?k? 对称中心(k??无对称轴 对称中心(?2,0) k?2,0) §1.5、函数y?Asin??x???的图象
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1、对于函数：
y?Asin??x????B?A?0,??0?的周期
T?2?说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数y?Asin(?x??)图像的对称轴与对称中心，只需令?x???k???
?2(k?Z)与?x???k?(k?Z)
2、能够讲出函数y?sinx的图象与
y?Asin??x????B的图象之间的平移伸缩变
换关系.
① 先平移后伸缩： 解出x即可.
4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：A??要根据周期来求,?要用图像的关键点来求.
ymax?yminy?ymin，B?max. 22y?sinx 平移|?|个单位
y?sin?x??? y?Asin??? ?xy?Asin??x???
第三章、三角恒等变换
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、sin??????sin?cos??cos?sin? 2、sin??????sin?cos??cos?sin? 3、cos??????cos?cos??sin?sin? 4、cos??????cos?cos??sin?sin? 5、tan??????6、tan??????（左加右减）
横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变
横坐标变为原来的|平移|B|个单位 （上加下减）
1?|倍
y?Asin??x????B
tan??tan?1?tan?tan?. tan??tan?1?tan?tan?.
② 先伸缩后平移： y?sinx 横坐标不变 y?Asinx
纵坐标变为原来的A倍
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、sin2??2sin?cos?， 变形： sin?cos??1. 2sin2?2、cos2??cos??sin?
22 纵坐标不变
横坐标变为原来的|平移??y?Asin?x
1?|倍
?2cos2??1 ?1?2sin2?.
变形如下：
个单位 y?Asin??? ??x（左加右减） 平移|B|个单位 （上加下减）
y?Asin??x????B
2??1?cos2??2cos? 升幂公式：? 2??1?cos2??2sin?3、三角函数的周期，对称轴和对称中心 函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,?,?为常数，且A≠0)的周期T?数y?tan(?x??)，x?k??常数，且A≠0)的周期T?2?；函|?|?cos2??1(1?cos2?)?2降幂公式：?
21?sin??(1?cos2?)?23、tan2???2,k?Z(A,ω,?为
2tan?.
21?tan??. |?|- 2 -
4、tan??(x??和)y?Acos(?x??)来对于y?Asin?
sin2?1?cos2??
1?cos2?sin2?§3.2、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式 有且只有一对实数?1,?2，使a??1e1??2e2. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表 1、 a?xi?yj??x,y?. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设a??x1,y1?,b??x2,y2?，则： ⑴a?b??x1?x2,y1?y2?，
⑵a?b??x1?x2,y1?y2?， ⑶?a???x1,?y1?， ⑷a//b?x1y2?x2y1.
2、A?x1,y1?,B?x2,y2?则： AB??x2?x1,y2?y1?. △ABC中：
1、设A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则 ⑴线段AB中点坐标为
y?asinx?bcosx?a2?b2sin(x??)
（其中辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决
b定,tan?? ).
a第二章：平面向量
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.
向量数乘运算及其几何意义
1、 规定：实数?与向量a的积是一个向量，这种运
算叫做向量的数乘.记作：?a，它的长度和方向规定如下： ⑴?a??a, ⑵当??0时, ?a的方向与a的方向相同；当
?x1?x22y2， ,y1?2?⑵△ABC的重心坐标为
?x1?x2?x33,y1?y32?y3.
?§2.4.1、平面向量数量积 1、 a?b?abcos?.
2、 a在b方向上的投影为：acos?. 3、 a?a. 4、 a?22a.
25、 a?b?a?b?0.
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设a??x1,y1?,b??x2,y2?，则：
⑴a?b?x1x2?y1y2 ⑵a???0时, ?a的方向与a的方向相反.
2、 平面向量共线定理：向量aa?0与b 共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a.
平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不
共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，
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??x12?y12
⑶a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0 ⑷a//b?a??b?x1y2?x2y1?0
2、 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则：
在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)
AB??x2?x1?2??y2?y1?2a?bab??.
C?A?B???2C?2??2(A?B). 2223、 两向量的夹角公式
s? co?
x1x2?y1y2x?y?x2?y2121222
5、一个常用结论： 在?ABC中，a?b?sinA?sinB?A?B; 若sin2A?sin2B,则A?B或A?B?
第二章：数列
1、数列中an与Sn之间的关系： .特别注意，2在三角函数中，sinA?sinB?A?B不成立。
?
必修5数学知识点 第一章：解三角形 1、正弦定理：
abc???2R. sinAsinBsinC（其中R为?ABC外接圆的半径） ?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC;
,(n?1)?S1an??注意通项能否合并。
S?S,(n?2).n?1?n2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an－an?1=d ，（n≥2，n∈N），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列
??sinA?abc,sinB?,sinC?; 2R2R2R?a:b:c?sinA:sinB:sinC.
用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它
元素。
2、余弦定理： ?A?a?b 2?a2?b2?c2?2bccosA,?222?b?a?c?2accosB, ?c2?a2?b2?2abcosC.?⑶通项公式：an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d 或an?pn?q(p、q是常数）. ⑷前n项和公式：
?b2?c2?a2,?cosA?2bc?a2?c2?b2?, ?cosB?2ac??a2?b2?c2.?cosC?2ab?用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；
⑵已知三角形三边，求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式： Sn?na1?n?n?1?n?a1?an?d? 22⑸常用性质：
①若m?n?p?q???m,n,p,q?N??，则
am?an?ap?aq；
②下标为等差数列的项?ak,ak?m,ak?2m,??，仍组成等差数列；
③数列??an?b?（?,b为常数）仍为等差数列； ④若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan?pbn}
- 4 -
S?ABC?111absinC?bcsinA?acsinB 2224、三角形内角和定理：
(k、p是非零常数)、{ap?nq}(p,q?N*)、，…也成等差数列。
⑤单调性：?an?的公差为d，则：
ⅰ）d?0??an?为递增数列； ⅱ）d?0??an?为递减数列； ⅲ）d?0??an?为常数列；
⑥数列{an}为等差数列?an?pn?q（p,q是常数） ⑦若等差数列?an?的前n项和Sn，则Sk、S2k?Sk、
a1?0,q?1或a1?0,0?q?1??an?为递增数列；
a1?0,0?q?1或a1?0,q?1??an?为递减数列； q?1??an?为常数列； q?0??an?为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列?an?的前n项和Sn，则Sk、S2k?Sk、
S3k?S2k… 是等差数列。
3、等比数列 ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
S3k?S2k… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列?an?的通项an可用公式
G、b成等比数列?G?ab,⑵等比中项：若三数a、（ab同号）。反之不一定成立。
n?1n?m⑶通项公式：an?a1q?amq
2,(n?1)?S1an??构造两式作差求解。
S?S,(n?2)n?1?n
⑷前n项和公式：Sn?⑸常用性质
a1?1?qn?1?q?a1?anq
1?q类型Ⅲ 累加法： 形如an?1?an?f(n)型的递推数列（其中f(n)是关
①若m?n?p?q???m,n,p,q?N??，则
am?an?ap?aq；
②ak,ak?m,ak?2m,?为等比数列，公比为q(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列??an?（?为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列?an?；则?lgan?是公差为
k?an?an?1?f(n?1)?a?a?f(n?2)?n?1n?2于n的函数）可构造： ?
...???a2?a1?f(1)类型Ⅳ 累乘法： 形如an?1?an?f(n)??an?1??f(n)?型的递推数列（其?an?lgq的等差数列；
④若?an?是等比数列，则?can?， ?an，2???1? ?，a?n?21rq，q，，qr. 是等比数列，公比依次是a(r?Z)?n?q?an?a?f(n?1)?n?1?an?1?f(n?2)?中f(n)是关于n的函数）可构造：?an?2
?...??a2?a?f(1)?1类型Ⅴ 构造数列法：
㈠形如an?1?pan?q（其中p,q均为常数且p?0）- 5 -
⑤单调性：
型的递推式： （1）若p?1时，数列{an}为等差数列; （2）若q?0时，数列{an}为等比数列;
类型Ⅶ 倒数变换法： 形如an?1?an?pan?1an（p为常数且p?0）的递推式：两边同除于an?1an，转化为
cc11=(?).
(an?b1)(an?b2)(b2?b1)an?b1an?b2
常见的拆项公式有： ①
111??；
n(n?1)nn?111??p形式，anan?1②
1111?(?);
(2n?1)(2n?1)22n?12n?111?(a?b); a?ba?b化归为an?1?pan?q型求出1的表达式，再求an；
an③
5、非等差、等比数列前n项和公式的求法 ⑴错位相减法 ①若数列?an?为等差数列，数列?bn?为等比数列，则数列?an?bn?的求和就要采用此法.
②将数列?an?bn?的每一项分别乘以?bn?的公比，然后在错位相减，进而可得到数列?an?bn?的前n项和.
⑶分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法 如果一个数列?an?，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1?an?a2?an?1?... ⑸记住常见数列的前n项和： ①1?2?3?...?n?此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.
⑵裂项相消法 一般地，当数列的通项an?n(n?1); 22②1?3?5?...?(2n?1)?n;
c
(an?b1)(an?b2)③1?2?3?...?n?22221n(n?1)(2n?1). 6(a,b1,b2,c为常数）时，往往可将an变成两项的差，
采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设an?第三章：不等式 §3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a?b?b?a ②（传递性）a?b,b?c?a?c
?an?b1??an?b2，通分整理后与原式相
③（可加性）a?b?a?c?b?c
（同向可加性）a?b,c?d?a?c?b?d （异向可减性）a?b,c?d?a?c?b?d ④（可积性）a?b,c?0?ac?bc
a?b,c?0?ac?bc ⑤（同向正数可乘性）a?b?0,c?d?0?ac?bd
- 6 -
比较，根据对应项系数相等得??c，从而可得
b2?b1
（异向正数可除性）a?b?0,0?c?d?a?b
cd⑥（平方法则）a?b?0?an?bn(n?N,且n?1) ⑦（开方法则）a?b?0?na?nb(n?N,且n?1) ⑧（倒数法则）a?b?0?
2、几个重要不等式 ①a2?b2?2ab?a，b?R?,（当且仅当a?b时取
1111?;a?b?0?? abab分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿
（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
f(x)?0?f(x)?g(x)?0g(x)?f(x)?g(x)?0f(x)?0??g(x)?g(x)?0a2?b2. \?\号）. 变形公式：ab?2 （时同理） “?或?”a?b?ab ?a，b?R??,（当②（基本不等式） 2且仅当a?b时取到等号）.
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当a?1时,af(x)?ag(x)?f(x)?g(x)
f(x)?a?b?变形公式： a?b?2ab ab???.
?2?用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
⑥若ab?0,则2⑵当0?a?1时, a?ag(x)?f(x)?g(x)
规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ⑴当a?1时,
ba??2（当仅当a=b时取等号） abba若ab?0,则???2（当仅当a=b时取等号）
ab22?a?b?a?bab??; ??2?2?2?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0
?f(x)?g(x)?⑵当0?a?1时,
3、几个著名不等式 ?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0.
?f(x)?g(x)?规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： a2?b2?(a?b). 225、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式ax?bx?c?0(或?0)
2?a(a?0)⑴定义法：a??.
?a(a?0)?⑵平方法：f(x)?g(x)?f(x)?g(x).
22(a?0,??b2?4ac?0)解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法.
- 7 -
⑶同解变形法，其同解定理有： ①x?a??a?x?a(a?0); ②x?a?x?a或x??a(a?0);
③f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)(g(x)?0) ④f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)(g(x)?0)
规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法 解形如ax?bx?c?0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a与0的大小； ⑵讨论?与0的大小； ⑶讨论两根的大小.
14、恒成立问题 ⑴不等式ax?bx?c?0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当a?0时 ?b?0,c?0;
22
四种命题的真假性之间的关系：
⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3、充分条件、必要条件与充要条件 若p?q，但q p，则p是q充分而不必要条件; 若p q，但q?p，则p是q必要而不充分条件; 若p?q且q?p，则p是q的充要条件； 若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.
4、复合命题
⑴复合命题有三种形式：p或q（p?q）；p且q（p?q）；非p（?p）. ⑵复合命题的真假判断
“p或q”形式复合命题的真假判断方法：一真必真； “p且q”形式复合命题的真假判断方法：一假必假； “非p”形式复合命题的真假判断方法：真假相对. 5、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.
⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.
⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题p：?x??,p(x)，它的否定?p：
②当a?0时??2?a?0 ??0.?⑵不等式ax?bx?c?0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当a?0时?b?0,c?0;
?a?0②当a?0时??
??0.?⑶f(x)?a恒成立?f(x)max?a;
f(x)?a恒成立?f(x)max?a;
⑷f(x)?a恒成立?f(x)min?a;
f(x)?a恒成立?f(x)min?a.
?x0??,?p(x0).全称命题的否定是特称命题．
②特称命题p：?x0??,p(x0),，它的否定?p：
专题一：常用逻辑用语 1、四种命题及其相互关系
?x??,?p(x).特称命题的否定是全称命题.
1．椭圆 专题二：圆锥曲线与方程 - 8 -
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y2?2?1?a?b?0? 2aby2x2?2?1?a?b?0? 2ab第一定义 范围 F2的距离之和等于常数2a，即|MF1|?|MF2|?2a（2a?|F1F2|） 到两定点F1、?a?x?a且?b?y?b ?1??a,0?、?2?a,0? ?b?x?b且?a?y?a ?1?0,?a?、?2?0,a? 顶点 ?1?0,?b?、?2?0,b? 轴长 对称性 焦点 焦距 ?1??b,0?、?2?b,0? 长轴的长?2a 短轴的长?2b 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 F1??c,0?、F2?c,0? F1?0,?c?、F2?0,c? F1F2?2c(c2?a2?b2) cc2a2?b2b2e????1?2aa2a2a(0?e?1) 离心率 （焦点）弦长公式 A(x1,y1),B(x2,y2)，AB?1?k2x1?x2?1?k2(x1?x2)2?4x1x2 - 2 -
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y2??1?a?0,b?0? a2b2y2x2??1?a?0,b?0? a2b2第一定义 范围 顶点 轴长 对称性 焦点 焦距 F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|MF1|?|MF2|?2a（0?2a?|F1F2|）到两定点F1、 x??a或x?a，y?R y??a或y?a，x?R ?1??a,0?、?2?a,0? ?1?0,?a?、?2?0,a? 实轴的长?2a 虚轴的长?2b 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 F1??c,0?、F2?c,0? F1?0,?c?、F2?0,c? F1F2?2c(c2?a2?b2) cc2a2?b2b2e????1?222aaaay??bx a 离心率 (e?1) y??ax b渐近线方程 3．抛物线 图形 y2?2px 标准方程 y2??2px x2?2py x2??2py ?p?0? 对称轴 焦点 ?p?0? x轴 ?p?0? y轴 ?p?0? ?p?F?,0? ?2??p?F??,0? ?2?p??F?0,? 2??p??F?0,?? 2??准线方程 x??p 2x?p 2- 3 -
y??p 2y?p 2
专题五：数系的扩充与复数 1、复数的概念 ⑴虚数单位i；
⑵复数的代数形式z?a?bi⑴ 分类加法计数原理：(分类相加)
做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有
m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方
(a,b?R)；
法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事情共有N?m1?m2???mn种不同的方法. ⑵ 分步乘法计数原理：(分步相乘)
做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有
⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数. 2、复数的分类 复数z?a?bi?a,b?R?
m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方
法……做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事情共有N?m1?m2???mn种不同的方法. ⑸排列数公式：
m①An?n?n?1??n?2???n?m?1?
?实数(b?0)??纯虚数(a?0,b?0) ?虚数(b?0)???非纯虚数(a?0,b?0)?3、相关公式
⑴a?bi?c?di?a?b,且c?d ⑵a?bi?0?a?b?0 ⑶z?a?bi?mAn?n！；
?n?m?!a2?b2
n②An?n!，规定0!?1.
⑷z?a?bi
z，z指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）. 4、复数运算 ⑴复数加减法：?a?bi???c?di???a?c???b?d?i； ⑵复数的乘法：
⑹组合数公式： ①Cn?mCn?mn?n?1??n?2???n?m?1?或
m!n！；
m!?n?m?!?a?bi??c?di???ac?bd???bc?ad?i；
a?bi?a?bi??c?di??⑶复数的除法： c?di?c?di??c?di??0mn?m②Cn，规定Cn?1. ?Cn⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.
mmm⑻排列与组合的联系：An，即排列就是先?Cn?Am组合再全排列.
?ac?bd???bc?ad?i?ac?bd?bc?adic2?d2c2?d2c2?d2
mAnn?(n?1)??(n?m?1)n!C?m??(m?n)Amm?(m?1)??2?1m!?n?m?!mn6、复数的几何意义 复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫做复平面的实轴，y轴叫做复平面的虚轴.
一一对应复数z?a?bi?????复平面内的点Z（a,b) ⑼排列与组合的两个性质性质
mmm?1mmm?1排列An；组合Cn. ?1?An?mAn?1?Cn?Cn一一对应复数z?a?bi?????平面向量OZ
专题六：排列组合与二项式定理 1、基本计数原理
- 4 -
⑽解排列组合问题的方法
①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.
②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.
③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）. ④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）. ⑤有序问题组合法.
⑥选取问题先选后排法. ⑦至多至少问题间接法.
⑧相同元素分组可采用隔板法. ⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！. 3、二项式定理 ⑴二项展开公式：
当A、B是互斥事件时，那么事件A?B发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即
P(A?B)?P(A)?. P(B⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件
A的对立事件通常记着A.
对立事件的概率和等于1. P(A)?1?P(A). ⑶相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.
当A、B是相互独立事件时，那么事件A?B发生（即A、B同时发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的积.即
?a?b?n0n1n?12n?22?Cna?Cnab?Cnab?rn?rr?Cnab ?nn?Cnb?n?N??.
P(A?B)?P(A)?P(B).
若A、B两事件相互独立，则A与B、A与B、A与B也都是相互独立的. ⑷独立重复试验
①一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
②独立重复试验的概率公式 如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的概率
kP(k)?Cnnpk⑵二项展开式的通项公式：
rn?rrTr?1?Cnab?0?r?n,r?N,n?N??.主要用途
是求指定的项.
⑶项的系数与二项式系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如
在(ax?b)的展开式中，第r?1项的二项式系数
r为Cn，第r?1项的系数为Cnarn?rn1br；而(x?)n的
x?(1p?nk)?k?0,,12n,?.
展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为
正，而项的系数不一定为正. ⑷?1?x?的展开式：
n1n?12n?2n0?1?x?n?Cn0xn?Cnx?Cnx???Cnx，
2、离散型随机变量 ⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用
字母X,Y,?,?等表示.
⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.
⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.
- 2 -
若令x?1，则有
12n. ?1?1?n?2n?Cn0?Cn?Cn???Cn
1、基本概念 ⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.
若X是随机变量，则YY?aX?b(a,b是常数）也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）. 3、离散型随机变量的分布列 ⑴概率分布（分布列）
⑵二项分布中的参数是p,k,n.
⑷超几何分布
一般地, 在含有M件次品的N件产品中，任取
设离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2，…，xi，…，xn，
X的每一个值xi（i?1,2,?,n）的概率P(X?xi)?pi，则称表 n件,其中恰有X件次品数,则事件?X?k?发生的
kn?kCMCN?M概率为P(X?k)?(k?0,1,2,nCN,m),于
X x1 x2 … xi … xn 是得到随机变量X的概率分布如下：
P p1 p2 … pi … pn X 0 1 1n?1CMCN?MnCN… m 为随机变量X的概率分布，简称X的分布列. 性质：①pi?0,i?1,2,...n; ②
?pi?1.
i?1n0n?0CMCN?MP nCN mn?mCMCN?M… nCN *⑵两点分布
如果随机变量X的分布列为
0 1 X
p P 1?p
则称X服从两点分布，并称p?P(X?1)为成功概率.
⑶二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
kkP(X?k)?Cnp(1?p)n?k.
其中m?min?M,n?,n≤N,M≤N,n,M,N?N. 我们称这样的随机变量X的分布列为超几何分布列,
且称随机变量X服从超几何分布.
注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；
⑵超几何分布中的参数是M,N,n.其意义分别是 总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量. 4、离散型随机变量的均值与方差 ⑴离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X 其中k?0,1,2,...,n,变量X的概率分布如下： q?1?p，于是得到随机
… k … n x1 x2 … xi … xn X P 则称
0p1 p2 … pi … pn 0 1 P 00nCnpq11n?1Cnpq… Cnpq kkn?k… Cnpq nnE?X??x1p1?x2p2??xipi??xnpn为离散型
我们称这样的随机变量X服从二项分布，记作
随机变量X的均值或数学期望（简称期望）.它反映了
离散型随机变量取值的平均水平. 性质：①E(aX?b)?aE(X)?b. ②若X服从两点分布，则E(X)?p. ③若X~B?n,p?，则E(X)?np. ⑵离散型随机变量的方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X~B?n,p?，并称p为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点： ①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一； ②重复性：即试验是独立重复地进行了n次;
③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等. 注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；
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X x1 x2 … xi … xn P 则称
np1 p2 … pi … pn D(X)??(xi?E(X))2pi为离散型随机变量X的
i?1方差，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
D(X)越小，X的稳定性越高，波动越小，取值越集中；D(X)越大，X的稳定性越差，波动越大，取值越分散.
性质：①D(aX?b)?aD(X). ②若X服从两点分布，则D(X)?p(1?P).③若X~B?n,p?，则D(X)?np(1?P). 5、正态分布 ：
2n(ad?bc)2值K?，其中
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2n?a?b?c?d为样本容量，K2的值越大，说明“X
与Y有关系”成立的可能性越大.
随机变量K越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。
2K2?3.841时，X与Y无关；K2?3.841时，X
与Y有95%可能性有关；K?6.635时X与Y有99%可能性有关.
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