江苏省靖江高级中学高二数学试卷（理科）

2014-2015学年度

高二年级数学学科第二学期期中试题（理科）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 命题“?x?0，有x2?x?0”的否定是 ▲ . 2. 若

1?mii?1?ni（m,n?R,i为虚数单位），则mn的值为 ▲ . 3. 观察下列式子：1?13115111722?2，1?22?32?3，1?22?32?42?4，?，根据以上式子

可以猜想1?11122?32??20152? ▲ . 4. 若z?cos??isin?（i为虚数单位），则???2+2k??k?Z?是z2??1的 ▲ 条件. （填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）

65.设???x?2?x??的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则AB? ▲ ．

6.已知函数y?f(x)是R上的增函数，a,b?R，命题“若a?b?0，则

f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)”与它的逆命题，否命题，逆否命题四个命题中真命题的个数

为 ▲ .

7. 已知a22?...?2n?1?n?N??，A12nn?1?2?n?Cna1?Cna2?...?Cnan，则An可化简为

▲ . （用含有n的式子表示） 8. 已知条件p:5?xx?1?0和条件q:m?1?x?2m?1，若?p是?q的充分条件，则实数m的取值范是 ▲ .

9. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一2个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为

a4. 类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ▲ .

10. 若?x?2?m?9?a0?a1?x?1??a2?x?1?2?...?a9?x?1?9，且

?a0?a2?...?a8?2??a1?a3?...?a29??39，则实数m的值为 ▲ . 11. 下列四个命题中，真命题的序号是 ▲ . ①?m?R，使f(x)?(m?1)?xm2?4m?3是幂函数，且在?0,???上递减；

②?a?0，函数f(x)??lnx?2?lnx?a有零点； ③??,??R，使cos(???)?cos??cos?； ④???R，函数f(x)?sin(2x??)都不是偶函数． 12．已知?1?x?2n?a0?a1x?a2x2?????a2n2nx（其中n为给定的正整数），则对任意整数k（0?k?2n），

akakCk?k?1恒为定值是 ▲ . 2n?1C2n?113. 已知二次函数f(u)?u2?2(x?y)u?1的值域为[0,??)，且当x?0，y?0时，不等式

x2y2x?2?y?1?t恒成立，则实数t的最大值为 ▲ ． 14. 设集合I??1,2,3,4,5?,选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 ▲ 种．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分14分）已知z是虚数，z?1z是实数． （1）求z为何值时，z?2?i有最小值，并求出|z?2?i的最小值； （2）设u?1?z1?z，求证：u为纯虚数．

1

16．（本小题满分14分）已知命题p：函数y?loga(1?ax)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a?2)x2?2(a?2)x?4?0对任意实数x恒成立，若p?q是真命题，求实数a的取值范围．

17．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于O，现用五种颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形?ABO,?BCO,?CDO,?ADO进行染色，且每个三角形用一种颜色图染.

（1）若必须使用红色，求四个三角形?ABO,?BCO,?CDO,?ADO中有且只有一组相邻三 角形同色的染色方法的种数；

（2）若不使用红色，求四个三角形?ABO,?BCO,?CDO,?ADO中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数. AD O BC

18．（本小题满分16分）已知函数f(x)?ax（a?0且a?1），函数S(x)、C(x)分别是

R上的奇函数和偶函数，并且S(x)?C(x)?f(x)．

（1）求S(x)和C(x)的解析式；

（2）计算S(2),C(2),S(3),C(3),S(5)，探索它们之间的关系并推广到一般情形，并给予证明；（3）类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，结合（2）的结论，试写出与（2）结果不相同的三个关于S(x)、C(x)的关系式，并给予证明．

19．（本小题满分16分）已知数列?a2n?满足an?1?an?nan?1，且a1?2．

（1）计算a2,a3,a4的值，由此猜想数列?an?的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）求证：2nn?ann?3nn．

20．（本题满分16分）已知函数f(x)?|x?m|和函数g(x)?x|x?m|?m2?7m.

（1）若方程f(x)?|m|在[?4,??)上有两个不同的解，求实数m的取值范围；

（2）若对?x1?(??,4],均?x2?[3,??)，使得f(x1)?g(x2)成立，求实数m的取值范围.

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