解析几何高考大题汇编

圆锥曲线综合问题

x2y21.【2012高考浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C：2+2?1(a＞b＞0)的离心率为

ab1，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线2段AB被直线OP平分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求?ABP的面积取最大时直线l的方程． 2.【2012高考辽宁理20】(本小题满分12分)

x2y22 如图，椭圆C0：2?2?1(a?b?0，a，b为常数)，动圆C1:x2?y2?t1，b?t1?a。

ab点A1,A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点。 (Ⅰ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;

2 (Ⅱ)设动圆C2:x2?y2?t2与C0相交于A/,B/,C/,D/四点，其中b?t2?a， 2为定值。 t1?t2。若矩形ABCD与矩形A/B/C/D/的面积相等，证明：t12?t23.【2012高考湖北理】（本小题满分13分）

设A是单位圆x2?y2?1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x 轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|?m|DA|(m?0,且m?1). 当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上

的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的k?0，都有PQ?PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.

4.【2012高考北京理19】（本小题共14分）

已知曲线C:?5?m?x??m?2?y?8?m?R?.

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（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

（2）设m?4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y?kx?4与

曲线C交于不同的两点M，N，直线y?1与直线BM交于点G，求证：A，G，N 三点共线.

5.【2012高考广东理20】（本小题满分14分）

x2y22在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的离心率e=，且椭圆

ab3C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

6.【2012高考福建理19】如图，椭圆E：离心率

的左焦点为F1，右焦点为F2，

.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.

（Ⅰ）求椭圆E的方程.

（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

7.【2012高考天津理19】（本小题满分14分）

x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B

ab两点，O为坐标原点.

（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为?1，求椭圆的离心率； 2（Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足k?

2

3.

1.【解析】(Ⅰ)由题：e?c1?； (1) a2左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：d?(2?c)2?12?10． (2) 由(1) (2)可解得：a2?4，b2?3，c2?1． x2y2∴所求椭圆C的方程为：+?1．

4311(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．

22∵A，B在椭圆上，

?xA2yA2+?1??43∴?22?xB+yB?1?3?4yA?yB3x?xB32x3???A???0??．

xA?xB4yA?yB42y02?kAB?3设直线AB的方程为l：y＝﹣x?m(m≠0)，

2?x2y2+?1??43代入椭圆：??y＝-3x?m??2?3x2?3mx?m2?3?0．

显然??(3m)2?4?3(m2?3)?3(12?m2)?0． ∴﹣12＜m＜12且m≠0．

m2?3由上又有：xA?xB＝m，yA?yB＝．

3∴|AB|＝1?kAB|xA?xB|＝1?kAB(xA?xB)?4xAxB＝1?kAB?3?1?m1?kAB?m?21?kAB2m24?．

3∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：d?m211∴S?ABP＝d|AB|＝|m＋2|4?，

322．

m21当|m＋2|＝4?，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)时，(S?ABP)max＝．

3231此时直线l的方程y＝﹣x?．

22【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题.

2.【解析】设A?x1,y1?,B?x1,-y1?，又知A1?-a,0?,A2?a,0?，则 直线A1A的方程为 y=y1?x+a? ① x1+a3

直线A2B的方程为

2y=-y1?x-a? ② x1-a-y12由①②得 y=22?x2-a2? ③

x1-ax12?x12y1222?由点A?x1,y1?在椭圆C0上，故可得2+2=1，从而有y1=b?1-2?，代入③得

ab?a?x2y2-=1?x<-a,y<0? ……6分 a2b2（2）证明：设A'?x2,y2?，由矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，得

4x1y1=4x2y2,?x12y12=x22y22，因为点A,A'均在椭圆上，所以?x12?22?x22?bx?1-2?=bx2?1-2?

?a??a?由t1?t2，知x1?x2，所以x12+x22=a2。从而y12+y22=b2，因而t12+t22=a2+b2为定值…12

221分

【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点M的轨迹方程时，要注意首先写出直线AA1和直线A2B的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。

3.【答案】（Ⅰ）如图1，设M(x,y)，A(x0,y0)，则由|DM|?m|DA|(m?0,且m?1)，

可得x?x0，|y|?m|y0|，所以x0?x，|y0|?1 |y|. ①

m因为A点在单位圆上运动，所以x02?y02?1. ②

y2将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x?2?1 (m?0,且m?1).

m因为m?(0,1)?(1,??)，所以

2当0?m?1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(?1?m2,0)，(1?m2,0)； 当m?1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0,?m2?1)，(0,m2?1).

（Ⅱ）解法1：如图2、3，?k?0，设P(x1,kx1)，H(x2,y2)，则Q(?x1,?kx1)，N(0,kx1)，

直线QN的方程为y?2kx?kx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得

(m2?4k2)x2?4k2x1x?k2x12?m2?0.

依题意可知此方程的两根为?x1，x2，于是由韦达定理可得

4k2x1m2x1，即x2?2. ?x1?x2??2m?4k2m?4k22km2x1因为点H在直线QN上，所以y2?kx1?2kx2?2.

m?4k24