中点弦问题

圆锥曲线的中点弦问题

一：圆锥曲线的中点弦问题：

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.

①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；

②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；

③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。

注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！

1、以定点为中点的弦所在直线的方程

x2y2??1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。 例1、过椭圆

164y22?1，例2、已知双曲线x?经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M2是线段AB的中点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。

本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

1y2x2??1的一条弦的斜率为3，它与直线x?的交点恰为这条弦的中点M，求例3、已知椭圆

27525点M的坐标。

y2x2??1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 例4、已知椭圆

75253、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l:y?3x?2截得的弦的中点的横坐标为

1，求椭圆的方程。 2y2x2?1 ?所求椭圆的方程是?75254、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

x2y2??1，试确定的m取值范围，使得对于直线y?4x?m，椭圆上总有不同例6、已知椭圆43的两点关于该直线对称。

五、注意的问题

（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。

利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。

答案：1.解：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)

? M(2,1)为AB的中点 ?x1?x2?4 y1?y2?2 ?又A、B两点在椭圆上，则x1?4y1?16，x2?4y2?16

两式相减得(x1?x2)?4(y1?y2)?0 于是(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0

22222222y1?y2x?x41??12????

x1?x24(y1?y2)4?2211即kAB??，故所求直线的方程为y?1??(x?2)，即x?2y?4?0。

222.解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)

则x1?x2?2，y1?y2?2

?yy2x1?1?1，x2?2?1

22222两式相减，得

1y?y2(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0 ?kAB?1?2

2x1?x2故直线AB:y?1?2(x?1) ?y?1?2(x?1)?2由?2y2 消去y，得2x?4x?3?0

x??1?2?? ??(?4)2?4?2?3??8?0

这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。

评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；（2） 若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。

3.解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则x0?1 2x1?x2?2x0?1 ， y1?y2?2y0

yxyx又 1?1?1，2?2?1

75257525两式相减得25(y1?y2)(y1?y2)?75(x1?x2)(x1?x2)?0

y?y23即2y0(y1?y2)?3(x1?x2)?0 ?1 ??x1?x22y0y?y213?3，即y0?? ?3 ? ?? k?122y0x1?x211?点M的坐标为(,?)。

224.解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则

x1?x2?2x， y1?y2?2y

yxyx又 1?1?1，2?2?1

75257525两式相减得25(y1?y2)(y1?y2)?75(x1?x2)(x1?x2)?0

22222222即y(y1?y2)?3x(x1?x2)?0，即

y1?y23x??

x1?x2yy1?y23x?3，即x?y?0 ?3 ??yx1?x2?x?y?053535353?,?) ,)Q(由?y2x2，得P(???12222??7525?点M在椭圆内

5353?x?) ?它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为x?y?0(?22y2x2225.解：设椭圆的方程为2?2?1，则a?b?50┅┅①

ab设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则

11x0?，y0?3x0?2?? ?x1?x2?2x0?1，y1?y2?2y0??1

222222y2x2y1x1又2?2?1，2?2?1 abab两式相减得b2(y1?y2)(y1?y2)?a2(x1?x2)(x1?x2)?0 即?b2(y1?y2)?a2(x1?x2)?0

? k?a2y1?y2a2?2 ? 2?3┅┅② ?

bx1?x2b联立①②解得a?75，b?25

6.解：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)为椭圆上关于直线y?4x?m的对称两点，P(x,y)为弦P1P2的中

点，则3x1?4y1?12，3x2?4y2?12 两式相减得，3(x1?x2)?4(y1?y2)?0 即3(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0

2222222222y1?y21??

x1?x24?y?3x 这就是弦P1P2中点P轨迹方程。 它与直线y?4x?m的交点必须在椭圆内

?y?3x?x??m322联立?，得? 则必须满足y?3?x，

4?y?4x?m?y??3m322132132即(3m)?3?m，解得? ?m?41313?x1?x2?2x，y1?y2?2y，