第一讲 - 二次根式的概念及性质

第一讲——二次根式的概念及其性质

知识导航与知识总结

本节主要涉及以前学过的知识有：算术平方根，不等式，去绝对值等 知识点一：二次根式的概念

形如a(a?0)的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以(a?0)是a为二次根式的前提条件，如6﹑ x2﹑

5，﹣x2-2等都不是二次根式。 x-（1x?0)等是二次根式，而﹣知识点二：取值范围

1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当(a?0)时，a有意义，所以只要

使被开方数 。

二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 时，a没有意义 知识点三：二次根式a(a?0)的非负性

也就是说，a(a?0)是一个非负数，即a?0(a?0)a(a?0)表示a的算术平方根，

—— 双重非负性

注：这个性质和 、 类似 知识点四：二次根式（a）的性质

（1）（a）=a(a?0) （逆用平方根得来） 文字语言叙述为：

2

2（2）a2＝a＝??a(a?0)

?-a(a＜0)文字语言叙述为： 。

注：化简a2时，先将它化成a，再根据绝对值的意义来进行化简 知识点五：(a)2与a2的异同点 1、不同点：

（1）意义不同。(a)2表示一个正数a的算术平方根的平方，而a2表示一个实数a的平

方的算术平方根；

（2）a的取值范围不同。(a)2在中(a?0)，而a2中a可以是正实数，0，负实数。 （3）运算结果不同。(a)2＝a(a?0) ，而a＝a＝?2?a(a?0)

?-a(a＜0)2、相同点：当被开方数都是非负数，即a?0时，(a)2＝a2；a＜0时，(a)2无意义，

而a2＝-a.

基础闯关

例1：下列各式（1）

15（2）5（3）

x2?2（4）1?a（5）a2?2a?1

其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2：要使x?13?x有意义，则x的取值范围是 。

练习：

1. 式子?x2?x?5、?1?x2、18、x2?2x?1中，有意义的式子个数为（ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

2.求下列各式有意义的所有x的取值范围

1）3?2x（；2）3x?1；（3）x?1x?2；

3. 如果y＝2x?3?3?2x?2，则2x?y=_______。

能力提升

例1：计算 （1）(?12127)（2）﹣(2)2（3）(3.14－π）（4）（m－n)2(m?n)

例2：（山东）实数a在数轴上的位置如图所示，则(a?4)2?(a?11)2 化简后为

A． 7 B． －7 C． 2a?15 D． 无法确定

05a10

例3:已知(x?第y2题图)?1?(y?3)2?0，则x?y的值为 A.1

B.-1 C.7 D.-7

） （

练习：

1.已知0 ＜x＜1，化简：(x?)?4－(x?1x212)?4x

222.若代数式(2?a)?(a?4)的值是常数2，则a的取值范围是（ ）

A. a≥4 B、a≤2 C、2≤a≤4 D、a=2或a=4

223. 如果a?2ab?b?a?3?0求b?2a的算术平方根。

挑战尖子生（师生共同完成）

例1：已知x,y是实数，3x?4?y2?6y?9?0，若axy?3x?y，求a的值；

222例2：已知a,b,c为三角形的三边，化简（a?b?c)?(b?c?a)?(b?c?a)

.

例3：如果式子(x?1)?x?2化简的结果为3?2x，求x的取值范围．

2中考直通车

21）?1＝（ ） 1． (广州)若a＜1,化简(a－A. a?2 B. 2?a C. a D. ?a

2.（天津 ）若x,y为实数，且x＋2＋y－2＝0，求()xy2009的值