限时训练5
函数的单调性与最值 建议用时：45分钟
一、选择题
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) 1
A．y＝－x
xB．y＝x－x D．y＝e－x
x2
C．y＝ln x－x
11
A [对于A，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－xxx在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y′＝e－1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝e－x在(0，＋∞)上是增函数．]
2．函数f(x)＝ln(x－2x－8)的单调递增区间是( ) A．(－∞，－2) C．(1，＋∞)
2
2
xxB．(－∞，1) D．(4，＋∞)
2
D [由x－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)，注意到函数y＝x－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．]
3．若函数f(x)＝x＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是( )
2
2
2
?11?A.?－，－3? ?3?
C．[－3，－22]
B．[－6，－4] D．[－4，－3]
B [由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－∈[2,3]，即a∈[－6，
2－4]．]
4．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2xa?1?－1)＜f??的x的取值范围是( ) ?3?
?12?A.?，? ?33??12?C.?，? ?23?
?12?B.?，? ?33??12?D.?，? ?23?
- 1 -
?1?D [因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f??. ?3?
112
所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.]
323
5．已知函数f(x)＝x－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝间(1，＋∞)上一定( )
A．有最小值 C．是减函数
B．有最大值 D．是增函数
2
fx在区xD [由题意知a＜1，若a≤0，则g(x)＝x＋－2a在(1，＋∞)上单调递增；若0＜a＜1，
axag(x)＝x＋－2a在(a，＋∞)上单调递增，则g(x)在(1，＋∞)上单调递增．综上可得，g(x)
x＝x＋－2a在区间(1，＋∞)上是增函数．故选D.]
二、填空题
6．函数f(x)＝4－x－x＋2的值域为________．
??4－x≥0，
[－6，6] [因为?
?x＋2≥0，?
ax
所以－2≤x≤4，
所以函数f(x)的定义域为[－2,4]．
又y1＝4－x，y2＝－x＋2在区间[－2,4]上均为减函数， 所以f(x)＝4－x－x＋2在[－2,4]上为减函数， 所以f(4)≤f(x)≤f(－2)， 即－6≤f(x)≤6.]
??3a－1x＋4a，x＜1，
7．若f(x)＝?
?－ax，x≥1?
是定义在R上的减函数，则a的取值范围是
________．
?1，1? [由题意知，???83?
??
1
3
?3a－1＜0，??a＞0，
3a－1×1＋4a≥－a，
??解得?1
a≥，8??a＞0，
a＜，
?11?所以a∈?，?.]
?83?
- 2 -
8．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a－a)＞f(a＋3)，则正实数a的取值范围是________． 2
(3，＋∞) [因为f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，
?a2
－a＞a＋3，所以??a2
－a＞0，
??a＋3＞0，
解得－3＜a＜－1或a＞3. 又a＞0，所以a＞3.] 三、解答题 9．已知f(x)＝
xx－a(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围． [解](1)证明：设x1＜x2＜－2， 则f(xx1
x22x1－x2
1)－f(x2)＝
x－＋2＝x. 1＋2x21＋2x2＋2
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1＜x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝
x1
x－
x2
＝
ax2－x1
1－ax2－ax－ax－a.
12因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0， 只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，
所以a≤1.综上所述，实数a的取值范围是(0,1]． 10．已知函数f(x)＝x2
＋a|x－2|－4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． 2
[解](1)当a＝2时，f(x)＝x2
＋2|x－2|－4＝???x＋2x－8，x≥2
??
x2
－2x，x＜2??
?x＋12－9，x≥2，??
x－1
2
－1，x＜2.
当x∈[0,2]时，－1≤f(x)≤0，当x∈[2,3]时，0≤f(x)≤7， 所以f(x)在[0,3]上的最大值为7，最小值为－1.
??x2
(2)因为f(x)＝?＋ax－2a－4，x＞2，
??x2
－ax＋2a－4，x≤2，
- 3 -
＝
又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，
所以当x＞2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4.
2当－1＜x≤2时，f(x)单调递增，则≤－1.
2
即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立， 故实数a的取值范围为[－4，－2]．
1．函数f(x)满足f(x＋2)＝3f(x)，且x∈R，若当x∈[0,2]时，f(x)＝x－2x＋2，则当x∈[－4，－2]时，f(x)的最小值为( )
1A. 91C．－
3
1B. 31D．－
9
2
aa11
A [因为f(x＋2)＝3f(x)，所以f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)．
39
因为当x∈[0,2]时，f(x)＝x－2x＋2，所以当x∈[－4，－2]，即x＋4∈[0,2]时，f(x)11112
＝f(x＋4)＝(x＋3)＋，故当x＝－3时，f(x)取得最小值，故选A.] 9999
2．定义在R上的函数f(x)的图像关于直线x＝2对称且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则( )
A．f(－1)＜f(3) C．f(－1)＝f(3)
B．f(0)＞f(3) D．f(0)＝f(3)
2
A [∵f(x)的图像关于直线x＝2对称且f(x)在(－∞，2)上是增函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上是减函数， 又f(－1)＝f(5)， 且f(3)＞f(5)， ∴f(3)＞f(－1)，选A.] 3．定义新运算－(2
：当a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2，则函数f(x)＝(1x)xx)，x∈[－2,2]的最大值等于( )
A．－1 C．6
B．1 D．12
3
C [由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1＜x≤2时，f(x)＝x－2，又f(x)＝x－2，f(x)＝x－2在相应的定义域内都为增函数，且f(1)＝－1，f(2)＝6，∴f(x)的最大值为6.]
- 4 -
3
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