高考文科数学一轮复习限时训练-函数的单调性与最值

??fx4．设函数f(x)＝ax＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝?

?－f?

2

，x＞0，

x，x＜0.

(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式；

(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．

[解](1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1.

由f(x)≥0恒成立，知a＞0且方程ax＋bx＋1＝0中的Δ＝b－4a＝(a＋1)－4a＝(a－1)≤0，∴a＝1，即b＝2.

从而f(x)＝x＋2x＋1.

?x＋1，x＞0，?

∴F(x)＝?2

??－x＋1，x＜0.

22

2

2

2

2

2

(2)由(1)可知f(x)＝x＋2x＋1， ∴g(x)＝f(x)－kx＝x＋(2－k)x＋1，

2－k2－k由g(x)在[－2,2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6.

22即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．

1．若f(x)＝－x＋4mx与g(x)＝( )

A．(－∞，0)∪(0,1] C．(0，＋∞)

22

2

2m在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是x＋1

B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1]

D [函数f(x)＝－x＋4mx的图像开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1；g(x)＝

2m2m的图像由y＝的图像向左平移一个单位长度x＋1x得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m＞0，解得m＞0.综上可得，m的取值范围是(0,1]．]

2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f??＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

x(1)求f(1)的值；

(2)证明：f(x)为单调递减函数；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值． [解](1)令x1＝x2>0，

代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.

(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，

?x1??2?

x1x2

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当x>1时，f(x)<0，∴f??<0， 即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)

∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

?x1??x2?

?x1??9?由f??＝f(x1)－f(x2)，得f??＝f(9)－f(3)， ?x2?

?3

?

而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.

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