??fx4.设函数f(x)=ax+bx+1(a,b∈R),F(x)=?
?-f?
2
,x>0,
x,x<0.
(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.
[解](1)∵f(-1)=0,∴b=a+1.
由f(x)≥0恒成立,知a>0且方程ax+bx+1=0中的Δ=b-4a=(a+1)-4a=(a-1)≤0,∴a=1,即b=2.
从而f(x)=x+2x+1.
?x+1,x>0,?
∴F(x)=?2
??-x+1,x<0.
22
2
2
2
2
2
(2)由(1)可知f(x)=x+2x+1, ∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1,
2-k2-k由g(x)在[-2,2]上是单调函数,知-≤-2或-≥2,得k≤-2或k≥6.
22即实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).
1.若f(x)=-x+4mx与g(x)=( )
A.(-∞,0)∪(0,1] C.(0,+∞)
22
2
2m在区间[2,4]上都是减函数,则m的取值范围是x+1
B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]
D [函数f(x)=-x+4mx的图像开口向下,且以直线x=2m为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m≤2,解得m≤1;g(x)=
2m2m的图像由y=的图像向左平移一个单位长度x+1x得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m>0,解得m>0.综上可得,m的取值范围是(0,1].]
2.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f??=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.
x(1)求f(1)的值;
(2)证明:f(x)为单调递减函数;
(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值. [解](1)令x1=x2>0,
代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.
(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,
?x1??2?
x1x2
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当x>1时,f(x)<0,∴f??<0, 即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1) ∴函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数, ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9). ?x1??x2? ?x1??9?由f??=f(x1)-f(x2),得f??=f(9)-f(3), ?x2? ?3 ? 而f(3)=-1,∴f(9)=-2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2. - 6 -
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