专题十一 一元一次方程的应用------行程与工程问题
1. 工作总量= × ，工作量= × × . 2. 路程= × ；船在水中航行，顺流速度= + ；逆流速度= - .
3. 列一元一次方程解决实际问题的基本过程：
实际问题 一元一次方程
得出 实际问题的答案 解一元一次方程
4. 用方程解决实际问题的一般步骤：
① 审题 ② ③ 列方程 ④ 解方程 ⑤ 答题
一、产品配套问题
例1 一张方桌由一个桌面和四条腿组成，如果1立方米料可制作方桌的桌面50个活制作 桌腿300条，现有5立方米木料，请设计一个方案，用多少木料做桌面，用多少木料 做桌腿，恰好配成方桌多少张？
【思路点拨】要使桌面与桌腿配套，生产的桌面与桌腿的数量要满足一定的关系. 解：设用x立方米木料做桌面，则4×50x =300（5-x）,解得：x=3，∴50x = 150. 答：用3立方米木料做桌面，2立方米木料做桌腿，恰好配成方桌150张.
【方法规律】配套问题的关键是找出配套的两者之间的数量关系，从而列出方程，在答题 之前要仔细分析题目要求，不要漏求. 二、工程问题
1. 将工作总量看作整体“1”
例2 一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做24天完成现在甲、乙 和做3天，甲因事离去，余下的工程由乙、丙和做完成，求乙共做多少天？ 【思路点拨】将工作总量看作整体“1”，再审清题意，工作总量如何完成，进而列出方程.
[来源:学+科+网] 解：设乙共做x天，得：
3xx?3???1，解得x=6. 8`1224 答：乙共做6天.
【方法规律】找出题意中工作量是怎样完成，建立方程，同时工作总量看作整体“1”，还要注意所求与所设是否一致.
2. 工作总量是具体数量
例3 挖一条长2020米的水渠，由甲、乙两个施工队从两头相向施工，甲队每天挖130幂， 乙队每天挖90米.甲队先挖两天，剩下的由两队共同完成.完成这项工程共需多少天？ 【思路点拨】找出甲、乙各完成工作量，两人的工作量之和即为总量. 解：设完成这项工程共需x天，得：130x +90(x-2)=2020，解得x=10. 答：完成这项工程共需10天.
【方法规律】工作总量是具体数量时，要找出各自完成的工作量，还需注意各自的工作时间是多少. 三、行程问题
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1. 相遇问题
例4 甲、乙两车从A、B两地相向而行，甲车比乙车早出发15分钟，甲、乙两车的速度比 为2:3，相遇时甲比乙少走6千米，已知乙车走了1小时30分，求甲、乙两车的速度 和两地距离.
【思路点拨】先找到等量关系式，然后分析题中量的联系，进而列出方程.如等量关系是 “相遇时甲比乙少走6千米”，对应找出相遇时，甲行的路程与乙行的路程代数式. 解：设甲车速度为2x千米/时，则乙车速度为3x千米/时，得：
[来源:Zxxk.Com] 2x?130?3015????6?3x?1，解得x=6,∴2x = 12 ,3x =18,
60?6060?30?3015? ???3x?1?48（km）60?6060? 两地相距： 2x?1 答：甲车速度为12km/h，乙车速度为18km/h，两地相距48km.
【方法规律】相遇问题中要紧抓相遇时两人时间一致，且两人的路程和等于总路程，往往以路程关系建立方程. 2. 追及问题
例5 小明、小亮两人相距40km，小明先出发1,5h，小亮再出发，小明在后小亮在前，两 人同向而行，小明的速度为8km/h，小亮的速度为6km/h，小明出发后几小时追上小 亮？
【思路点拨】追及问题中追及路程=小明的行程-小亮的行程
解：设小明出发xh后追上小亮，得8x - 6(x-1.5)=40，解得x = 15.5. 答：小明出发15.5小时后追上小亮.
【方法规律】追及问题的等量关系与追及路程有关，找准路程关系式，建立方程即可解决问题. 3. 行船问题
例6 在一条直线的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知， 需立即返回C地执行任务，甲船继续航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5千 米/时，水流的速度是2.5/时，A、C两地间的距离为10千米，如果乙船由A地经B 地再到C地共用4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船离B地有多远？
【思路点拨】分析题意，找出C地可能所处位置分类讨论，同时注意速度之间的联系. 解：设乙船由B到C用x小时.
[来源:学科网ZXXK]?4-x） ①若C在AB之间，有方程?7.5?2.5（?(7.5?2.5)x?10，解得x=2，
则甲船离B地?7.5?2.5??2?20； （千米）10, 310010100?（千米） 则甲船离B地?7.5?2.5??.所以甲船离B地为20千米或千米.
333 ②若C在A地上游，有方程?7.5-2.5?x?(7.5?2.5)?4?x??10，解得x? 【方法规律】行船问题首先要关注速度之间的关系，同时利用路程之间的数量关系列出方程.
4.桥梁问题
例7 一列火车匀速行驶，经过一座1000米的铁路桥，从车头上桥到车身全部通过铁路桥需 要1分钟，并且车身全部在桥上的时间为40秒钟，求火车的速度和火车的长度.
【思路点拨】车身全部通过桥梁是指火车在桥上行程为车身加上桥长，而车身全部在桥上 行程为桥长减去车长.故可以利用车长作等量关系建立方程.
解：设火车速度为xm/s，得：60x - 1000=1000-40x，解得：x=20,∴60x - 1000=200 答：火车的速度为20m/s，火车的速度为200m.
【方法规律】熟练运用桥长与车长的关系，并且能分析出题目中隐含的等量关系，建立方程.
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一、巧设元
例1 某队伍长450米，以每分钟90米的速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返 回排尾，速度为3米/秒，问往返共需多少时间？
【思路点拨】这一问题实际上分为两个过程：①从排尾到排头的过程是一个追及过程， 相当于最后一个人追上最前面的人；②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程.
解：设追及时间为x秒，因为90米/分=1.5米/秒，得：3x - 1.5x= 450 ，所以x=300。 设通讯员从排头返回排尾用了y秒，得：3y+1.5y=450，所以y=100，x+y=400。 答：通讯员往返共用了400秒.
【方法规律】能将一个问题分成两个问题来求. 二、情景应用题
例2 某工程队承包了某段全长1775米的过江隧道施工任务，甲乙两个班组分别从东、西 两端同时掘进，已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进 45米.
（1）求甲、乙两个班平均每天各掘进多少米？
（2）为了加快速度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多 掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米. 按此施工速度，能够比原来少用 多少天完成任务？
【思路点拨】找等量关系：①甲组比乙组每天平均多掘进0.6米； ②5天内甲、乙两组共掘进45米. 解：（1）设乙班组平均每天掘进x米，则甲班组平均每天掘进（x+0.6）米， 5x + 5(x+0.6)=45 ,解之得：x=4.2 ，则x+0.6=4.8 答：甲、乙两个班组平均每天掘进4.8米，4.2米.
（2）改进技术后，甲组平均每天掘进4.8+0.2=5（米）. 乙组平均每天掘进4.2+0.3=4.5（米） 所以改进技术后，余下工程所用时间：（1755 - 45）÷（5+4.5）=180（天） 按原来速度，余下工程所用时间：（1755 - 45）÷（4.8+4.2）=190（天）， 所以190-180=10（天）
答：改进技术后能够比原来少用10天完成任务.
【方法规律】情况类问题，先要审清题目，理清各类条件，再理解题目，如何设元，建立方程.
A 链接中考
1. 小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，设所用的1元纸币 为x张，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. x+5(12-x)=48 B. x+5(12-x)=48 C. x+5(12-x)=48 D. 5x+ (12 - x)=48
2. 一艘轮船在河中航行，已知该轮船在河水中顺流航行的速度为20千米/时，逆流航行的速 度为16千米/时，那么水流的速度为（ ）
A. 2千米/时 B. 4千米/时 C. 18千米/时 D. 不能确定
3. 如果甲、乙、丙三村和修一条公路，计划出工84人，按3:4:7出工，求各村出工的人数. ①设甲、乙、丙三村分别派3x人、4x人、7x人，依题意得 3x+4x+7x=84； ②设甲村派x人，依题意得x+4x+7x=84；
3
③设乙村派x人，依题意得x?47x?x?84； 33 ④设丙村派x人，依题意得 3x +4x +x = 84.
上面所列方程中正确的有（ ）
A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
4.小华带x元去买甜点，若全买红豆汤圆刚好可买30杯，若全买豆花刚好可买40杯.已知 豆花每杯比红豆汤圆便宜10元，依题意可列出方程为（ ） A.
xxxxxx?10x?10x??10 B.??10 C.?? D. 30404030403040305. 甲、乙、丙三辆卡车所运货物的吨数的比是6:7：4.5，已知甲车比丙车多运货物12吨， 则三辆卡车共运货物（ ）
A. 120吨 B. 130吨 C. 140吨 D.150吨
6. 汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下喇叭，4秒后 听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒.设听到回响 时，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为（ ）
A. 2x +4×20=4×340 B. 2x - 4×72=4×340 C. 2x +4×72=4×340 D. 2x - 4×20=4×340
7. 一列火车匀速驶入长300米的隧道，从它开始进入到完全通过历时25秒钟，隧道顶部一 盏固定灯在火车上垂直照射的时间为10秒，则火车的长为 .
8.甲从A地以6千米/时的速度向B地行驶，40分钟后，乙从A地以8千米/时的速度追甲， 结果乙在离B地还有5千米的地方追上了甲，则甲、乙两地的距离是 千米. 9. 一只轮船顺流航行，每小时20千米，逆流航行，每小时16千米，则轮船的静水速度为 千米/时，水流速度为 千米/时.
10.A、B两地相距480km，一列慢车从A地开出，每小时行60km，一列快车从B地开出， 每小时行65km.若慢车先开出1h，相向而行，快车开出xh后相遇，由此条件列出方 程 .
11.已知风速为10千米/时，飞机在逆风中飞行速度为250千米/时，则飞机在顺风中飞行 的速度为（ ）
A. 250千米/时 B. 260千米/时 C. 270千米/时 D.280千米/时
12.一艘轮船在甲、乙两个码头间航行，顺水航行的速度为80千米/时，逆水航行的速度为 50千米/时，则水流的速度为（ ）
A. 10千米/时 B. 15千米/时 C.20千米/时 D.25千米/时
13.某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售，该公司加工该种蔬菜每天可 以精加工4吨或粗加工8吨.现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精 加工、几天粗加工？
14.一水池装有甲、乙、丙三个水管，甲、乙两管是注水管，丙管是排水管，单独开甲管6 小时可注满水池，单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管12小时可把满水池的水排 完.现在先打开甲、乙两管进水2小时，再打开丙管，问打开丙管几小时后可将水池注满 水？
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