和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值． ?2ax＋b?e－?ax＋bx＋c?e
解 (1)f′(x)＝ x2
?e?－ax＋?2a－b?x＋b－c＝. xe
令g(x)＝－ax＋(2a－b)x＋b－c，
因为e>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax＋(2a－b)x＋b－c的零点且f′(x)与g(x)符号相同．
又因为a>0，所以当－3
??g?－3?＝－9a－3?2a－b?＋b－c＝0，
3
－32
2
3
x2xx2
解得a＝1，b＝5，c＝5， 所以f(x)＝
x2＋5x＋5
e
x. 因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)， 单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，
故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，而f(－5)＝＝f(0)，
所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e.
思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 232
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax＋2x－4x＋5，当x＝时，函数f(x)有极值，则函数f(x)
3在[－3,1]上的最大值为________． 答案 13
6
5
55－5＝5e>5e
解析 f′(x)＝3ax2
＋4x－4，
由f′??2?3???＝0可得a＝1，经验证f??2?3???
为极值； ∴f(x)＝x3
＋2x2
－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝23
.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示：
x －3 (－3，－2) －2 ??－2，22?3??? 3 ??2?3，1??? 1 f′(x) ＋ ＋ 0 － 0 ＋ ＋ f(x) 8 13 9527 4
∴函数f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
利用导数求函数的最值
例(12分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值． 规范解答
解 (1)f′(x)＝1
x－a(x>0)，
①当a≤0时，f′(x)＝1
x－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．[2分]
7
11
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
xa11－ax当0
ax11－ax当x>时，f′(x)＝<0，
ax?1?故函数f(x)的单调递增区间为?0，?，
?
a?
?1?单调递减区间为?，＋∞?.[4分]
?a?
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
?1??1?当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为?0，?，单调递减区间为?，＋∞?.[5分]
?
a?
?a?
1
(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2
a－2a.
[6分]
11②当≥2，即0 a2分] 11?1??1?③当1<<2，即 1 所以当 2当ln2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln2－2a.[11分] 综上可知，当0 8 用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤 第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)； 第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进比较，确定f(x)的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． 9 1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( ) A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 答案 C 解析 设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4. 当x 同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C. 13 2．函数f(x)＝x－4x＋4的极大值为( ) 3 10
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