高一数学一元二次不等式解法经典例题

1例1 若0＜a＜1，则不等式(x－a)(x－)＜0的解是

a[ ]

1A．a＜x＜a

1B．＜x＜aa1C．x＞或x＜aa

1D．x＜或x＞aa1分析 比较a与的大小后写出答案．

a11解 ∵0＜a＜1，∴a＜，解应当在“两根之间”，得a＜x＜．aa

选A．例2 x2?x?6有意义，则x的取值范围是分析 求算术根，被开方数必须是非负数．

．

解 据题意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2．

例3 若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________． 分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理．

解 根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知

?b??(?1)?2?1??a得 ?1???(?1)×2??2??aa?11，b??． 22例4 解下列不等式 (1)(x－1)(3－x)＜5－2x (2)x(x＋11)≥3(x＋1)2

(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)

(4)3x2?3x?1＞?32x21(5)x2?x?1＞x(x?1)3

分析 将不等式适当化简变为ax2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．

答 (1){x|x＜2或x＞4}

3(2){x|1≤x≤}

2(3)?

(4)R (5)R

说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．

1例5 不等式1＋x＞的解集为

1?x[ ]

A．{x|x＞0} C．{x|x＞1}

0}

分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．

B．{x|x≥1}

D．{x|x＞1或x＝

1＞0，1?x

?x2x2通分得＞0，即＞0，1?xx?1解 不等式化为1＋x－∵x2＞0，∴x－1＞0，即x＞1．选C．

说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．

x?3例6 与不等式≥0同解的不等式是

2?x[ ]

A．(x－3)(2－x)≥0 B．0＜x－2≤1

C．2?x≥0 x?3D．(x－3)(2－x)≤0

?(x?3)(2?x)≥0，解法一 原不等式的同解不等式组为?

?x?2≠0．故排除A、C、D，选B．

x?3解法二 ≥0化为x＝3或(x－3)(2－x)＞0即2＜x≤3

2?x两边同减去2得0＜x－2≤1．选B． 说明：注意“零”．

例7 不等式ax＜1的解为{x|x＜1或x＞2}，则a的值为 x?1[ ]

121C．a＝2A．a＜ B．a＞121 D．a＝－2

分析 可以先将不等式整理为(a?1)x?1＜0，转化为

x?111＝2，∴a＝． a?12[(a－1)x＋1](x－1)＜0，根据其解集为{x|x＜1或x＞2}

可知a－1＜0，即a＜1，且－答 选C．

说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．

例8 解不等式3x?7≥2．

x2?2x?33x?7?2≥0

x2?2x?3解 先将原不等式转化为

?2x2?x?12x2?x?1即2≥0，所以2≤0．x?2x?3x?2x?3

17由于2x2＋x＋1＝2(x＋)2＋＞0，48∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x－3＜0，

即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集为{x|－3＜x＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 例9 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2

≤0}，若B?A，求a的范围．

分析 先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关

系，结合B?A，利用数形结合，建立关于a的不等式．

解 易得A＝{x|1≤x≤4} 设y＝x2－2ax＋a＋2(*)

(1)若B＝?，则显然B?A，由Δ＜0得