2013秋0917《高等数学》作业3

2013秋0917《高等数学》作业3

一、填空题：

x2?91．设f(x)?2，则x?3是函数f(x)的第 一 类间断点；x??1是函数f(x)x?2x?3的第 二 类间断点。

2x3?x222．lim . ?x??5x3?253．如果f(x)在点x0可导是f(x)在点x0可微的 充要 条件. 4．已知y?(3?4x)2，则y'? 2(? . 3x4x25．?dx?x?arctanx?C. 21?x二、选择题：

1．当x?0时，x2?2x是sinx2的（

D

）

（A）等价无穷小 （B）同阶但不等价无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小 2．若数列{xn}有界，则{xn}必（

C

）

（A）收敛 （B）发散 （C）可能收敛可能发散 （D）收敛于零 3．下列函数中（

C

）在区间[?1,1]上满足罗尔定理的条件：

3（A）y?1?|x| （B）y?1?x2 （C）y?x2?1 （D）y?xex

4．若在区间(a,b)内，f(x)是单调增函数，则f'(x)（

A

）

（A）?0 （B）?0 （C）?0 （D）?0 5．微分方程x(y\?yy'?0的阶数是（

34B

）

（A） 1 （B）2 （C） 3 （D） 4

三、按要求计算：

1．求lim?2n??1????. 22?n??n2nn??1n(n?1)2n?1?2???n1?1?1?12解：lim?lim?lim?2?2???2??lim?1???. 22n??nn??n??n??2nnnn???n?2

2．求函数y?esin2(1?x)的导数.

解：设中间变量, 令y?eu,u?v2,v?sinw,w?1?x.

u2u??uv??v?于是y?x?yuw?w?x?(e)??(v)??(sinw)??(1?x)??e?2v?cosw?(?1)

??esin2(1?x)?2sin(1?x)cos(1?x)??sin2(1?x)?esin2(1?x).

x43．求不定积分dx. 21?x?解：?x4dx?21?x?1?x4?1?1(x2?1)(x2?1)?2?x?1?dx?dx??dx 2221?x?1?x1?x???1x3?xdx?1dx?dx??x?arctanx?C.

31?x2?2??

4．求定积分

1?x?10xe?xdx.

1?x?x10解：?xedx???xd(e)??(xe0010??edx)??[(e?0)??e?xd(?x)]

001?x?11 ??(e?1?e?x)??[e?1?(e?1?1)]?1?2e?1.

5．求函数z?4xy3?5x2y6的全微分.

解：∵?z?4y3?10xy6,?z?12xy2?30x2y5,

?x?y∴ dz?(4y3?10xy6)dx?(12xy2?30x2y5)dy.

四、证明方程x3?4x2?1?0在区间(0, 1)内至少有一个根.

证明：令f(x)?x3?4x2?1,则f(x)在[0,1]上连续 .又f(0)?1?0,由零点定理 , ???(0,1),使f(?)?0,即?3?4?2?1?0.

f(1)??2?0,

?方程x3?4x2?1?0在(0,1)内至少有一个实根?.

五、求解微分方程

dyyy???tan满足初始条件yx?1?的特解. dxxx6xdxdx解：题设方程为齐次方程,设u?y,则dy?u?xdu,

du1?u?tanu,分离变量得cotudu?dx. dxx两边积分得ln|sinu|?ln|x|?ln|C| ? sinu?Cx,

代入原方程得u?x将u?yy回代，则得到题设方程的通解为sin?Cx.

xx1y1利用初始条件y|x?1??/6,得到C?.从而所求题设方程的特解为sin?x.

x22