专题10 图形的性质之解答题
参考答案与试题解析
一．解答题（共23小题）
1．（2019?舟山）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．
【答案】解：添加的条件是BE＝DF（答案不唯一）． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABD＝∠BDC， 又∵BE＝DF（添加）， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
2．（2019?温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）； （2）解：∵△BDE≌△CDF， ∴BE＝CF＝2，
∴AB＝AE+BE＝1+2＝3， ∵AD⊥BC，BD＝CD， ∴AC＝AB＝3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
3．（2019?杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
【答案】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P， ∴PA＝PB， ∴∠B＝∠BAP， ∵∠APC＝∠B+∠BAP， ∴∠APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ， ∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ， ∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°， ∴5∠B＝180°， ∴∠B＝36°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中． 4．（2019?衢州）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连结AE，AF．求证：AE＝AF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， ∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝CF．
【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
5．（2019?湖州）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF． （1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
【答案】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点， ∴DF∥BC，EF∥AB， ∴DF∥BE，EF∥BD， ∴四边形BEFD是平行四边形；
（2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，
∴DF＝DB＝DAAB＝3，
∵四边形BEFD是平行四边形， ∴四边形BEFD是菱形， ∵DB＝3，
∴四边形BEFD的周长为12．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．（2019?杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2． （1）求线段CE的长；
（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．
【答案】解：（1）设正方形CEFG的边长为a， ∵正方形ABCD的边长为1， ∴DE＝1﹣a， ∵S1＝S2，
∴a＝1×（1﹣a），
2
解得，（舍去），，
即线段CE的长是；
（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1， ∴CH＝0.5，
∴DH，
∵CH＝0.5，CG，
∴HG，
∴HD＝HG．
相关推荐：
loading