2020-2021中考数学专题《圆的综合》综合检测试卷附答案解析

2020-2021中考数学专题《圆的综合》综合检测试卷附答案解析

一、圆的综合

1．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F． （1）求证：AE=BE； （2）求证：FE是⊙O的切线；

（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）. 【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示： ∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB； 又∵AC=BC，∴AE=BE．

（2）证明：连接OE，如图2所示：

∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6． 又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线． （3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC?FB．

设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．

∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴

，即

，解得：CG= ．

点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．

2．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.

(1)设AB的长为a，PB的长为b(b

(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.

【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6. 【解析】

试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．

（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．

试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置， ∴△PAB≌△P'CB， ∴S△PAB=S△P'CB，

S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；

（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，

∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，

∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32； 又∵∠BP′C=∠BPA=135°，

∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形． PC=

=6．

考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．

3．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，∠AEO?∠C，OE交BC于点F. （1）求证：OE∥BD；

（2）当⊙O的半径为5，sin?DBA?2时，求EF的长. 5

【答案】（1）证明见解析；（2）EF的长为【解析】

21 2试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明； （2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.

试题解析：（1）连接OB， ∵CD为⊙O的直径 ， ? ?CBD??CBO??OBD?90?. ∵AE是⊙O的切线，? ?ABO??ABD??OBD?90?. ? ?ABD??CBO. ∵OB、OC是⊙O的半径，?OB=OC. ∴?C??CBO. ∴?C??ABD. ∵?E??C，∴?E??ABD. ∴ OE∥BD. （2）由（1）可得sin∠C= ∠DBA=

2BD2?,OC=5， ，在Rt△OBE中, sin∠C =

5CD5BD?4∴?CBD??EBO?90?

∵?E??C，?△CBD∽△EBO.

BDCD? BOEO25∴EO?.

2∴

∵OE∥BD，CO=OD， ∴CF=FB. ∴OF?1BD?2. 221 2∴EF?OE?OF?

4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D． （1）求证：直线AE是⊙O的切线． （2）求图中阴影部分的面积.