第4课时 方位角与方向角问题
复习引入
本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题． 探究新知
（一）方位角与方向角 1．方向角
教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．
图28．2-1 图28．2-2 2．方位角
教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．?如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°． （二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点
教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）?之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解． 解题时一般有以下三个步骤：
1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．
2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．
3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、?角）之间关系解有关的直角三角形．
（三）例题讲解
教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的 北偏东65°方向，?距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段 时间后，?到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时海轮所在 的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）
教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC?是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP?均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC?互余的关系求∠BPC．
教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书． 解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.8．
在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=
PCPC72.872.8??，∴PB=≈130.23．
PBsinBsin34?0.559 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，?要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．
图28．2-9 图28．2-10
与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sinα．
图28．2-11
在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，??．
然后我们再“积零为整”，把h1，h2，?相加，于是得到山高h．
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容． 随堂练习
课本第95页练习第1题、第2题． 课时总结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，?转化为解直角三角形的问题）． 2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形． 3．得到数学问题的答案． 4．得到实际问题的答案． 教后反思:
________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 第4课时作业设计 课本练习
课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．
双基与中考 一、选择题．
1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（ ）．
A．南偏西35° B．东偏西35° C．南偏东55° D．南偏东35°
B北C东www.czsx.com.cn
(第1题) (第5题) (第8题) 2．?身高相同的三个小朋友甲、?乙、?丙放风筝，?他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（ ）．
A．甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高
3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，?一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（ ）．
A．5
5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，?斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（ ）．
A．42m B．（30+243）m C．78m D．（30+83）m 6．△ABC中，已知cosA?1+（tanB-3）2=0且AB=4，则△ABC的面积是（ ）． 2 A．43 B．4 C．23 D．2
7．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（ ）．
A．72 B．142 C．7 D．14
8．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，?使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（ ）．
A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．
1.8m D．1.8cot80°m
sin80? 9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（ ）． A．4sin54° B．4cos63° C．8sin27° D．8cos27°
10．如图，上午9时，一条船从A处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，?11时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B处到灯塔C的距离是（ ）．
A．20海里 B．36海里 C．72海里 D．40海里
北CNB
(第10题) (第11题)
11．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1?米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，?请你计算电线杆AB的高为（ ）．
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 二、填空题．
12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，?该C同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆高度为______m．（?用含根号的式子表示）
60?13．在地面上一点测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，再向塔底前进a米，45?又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________． Awww.czsx.com.cnB14．如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD，根据图示数据得下底宽AD=___米．
A
(第14题) (第15题)
15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=?30°，则顶点B的坐标是________．
16．如图，?燕尾槽的外口宽AD=?90mm，?深为70mm，?燕尾角为60?°，?则里口宽为________．
(第16题) (第17题) 17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45?°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______． 三、解答题．
18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的
速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了 两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向， 求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）
（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）
19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所 综合性大学，为方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距 2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），
经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C?处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？ 答案：
一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D 11．D 二、12．8+ 13．3?3a米 14．29.2 21403）mm 17．500（1+3）m 315．（3+43，33） 16．（90+三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．
∵∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-(∠1+∠2)=180°-(32°+58°)=90° 由B在A的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．
又∵在Rt△AOB中tanA=
OB， OA∴OB=OA·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）． ∴v=
OB=19.964÷2=9.982≈10.0．即：乙船的速度约为10.0海里/小时． 2 19．过点C作CD⊥AB于D，CD=3-1>0.7，这条公路不会穿过公园．
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