2017年硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版
附答案分析及详解
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
?1?cosx,x?0?（1）若函数f(x)??在x?0处连续，则（ ） ax?b,x?0?12(C)ab?0(A)ab?【答案】A
?B?ab???D?ab?212
1x1?cosx2?1,Qf(x)在x?0处连续?1?b?ab?1.选A. 【解析】lim?limx?0?x?0?ax2a2ax2a
（2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)?0，则（ ）
(A)f(1)?f(?1)(C)f(1)?f(?1)?B?f(1)?f(?1)?D?f(1)?f(?1)
【答案】C
?f(x)?0?f(x)?0【解析】Qf(x)f(x)?0,??(1)或?(2)，只有C选项满足(1)且满足(2)，所
f'(x)?0f'(x)?0??'以选C。
（3）函数f(x,y,z)?x2y?z2在点(1,2,0)处沿向量u??1,2,2?的方向导数为（ ）
(A)12(B)6(C)4(D)2
【答案】D
【解析】
gradf?{2xy,x2,2z},?gradf(1,2,0)?{4,1,0}??fu122?gradf??{4,1,0}?{,,}?2. ?u|u|333选D.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v?v1(t)（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（ ）
v(m/s)1020051015202530t(s)
(A)t0?10(B)15?t0?20(C)t0?25(D)t0?25
【答案】B
【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为?v1(t)dt,?v2(t)dt,则乙要追上甲，则
00t0t0?
t00v2(t)?v1(t)dt?10，当t0?25时满足，故选C.
（5）设?是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵， 则（ ）
(A)E???T不可逆(C)E?2??不可逆T?B?E???T不可逆?D?E?2??T不可逆
【答案】A
【解析】选项A,由(E???T)??????0得(E???T)x?0有非零解，故E???T?0。即
E???T不可逆。选项B,由r(??T)??1得??T的特征值为n-1个0，1.故E???T的特征值为
n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。
?200??210??100??,B??020?,C??020?,则（ ） 021（6）设矩阵A????????????001???001???002???B?A与C相似,B与C不相似
(C)A与C不相似,B与C相似?D?A与C不相似,B与C不相似(A)A与C相似,B与C相似
【答案】B
【解析】由(?E?A)?0可知A的特征值为2,2,1
?100?? 因为3?r(2E?A)?1，∴A可相似对角化，且A~?020???002???由?E?B?0可知B特征值为2,2,1.
因为3?r(2E?B)?2，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化， ∴A~C，且B不相似于C
（7）设A,B为随机概率，若0?P(A)?1,0?P(B)?1，则P(AB)?P(AB)的充分必要条件是（ ）
(A)P(BA)?P(BA)(C)P(BA)?P(BA)(B)P(BA)?P(BA)(D)P(BA)?P(BA)
【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
1n（8）设X1,X2???Xn(n?2)为来自总体N(?,1)的简单随机样本，记X??Xi，则下列结论
ni?1中不正确的是（ ）
(A)?(Xi??)2服从?2分布i?1nn?B?2(Xn?X1)2服从?2分布
(C)?(Xi?X)2服从?2分布i?1?D?n(X??)2服从?2分布
【答案】B 【解析】
X:N(?,1),Xi??:N(0,1)??(Xi??)2:?2(n),A正确i?1n?(n?1)S??(Xi?X)2:?2(n?1)，C正确，2i?1n
1?X~N(?,),n(X??):N(0,1),n(X??)2~?2(1),D正确,n(Xn?X1)2?~N(0,2),~?2(1),故B错误.2由于找不正确的结论，故B符合题意。
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9) 已知函数f(x)?【答案】f(0)??6 【解析】
??112nn2nf(x)???(?x)?(?1)x??221?x1?(?x)n?0n?01，则f(3)(0)=__________ 21?xf'''(x)??(?1)n2n(2n?1)(2n?2)x2n?3?f'''(0)?0n?2?
(10) 微分方程y''?2y'?3y?0的通解为y?_________ 【答案】y?e?x(c1cos2x?c2sin2x)，（c1,c2为任意常数）
2【解析】齐次特征方程为??2??3?0??1,2??1?2i
故通解为e?x(c1cos2x?c2sin2x)
(11) 若曲线积分?xdx?aydy在区域D??(x,y)|x2?y2?1?内与路径无关，则 22Lx?y?1a?__________
【答案】a?1
【解析】
?P?2xy?Q2axy?P?Q?2,?,??a??1 由积分与路径无关知22222?y(x?y?1)?x(x?y?1)?y?x(12) 幂级数?(?1)n?1nxn?1在区间(?1,1)内的和函数S(x)?________
n?1?【答案】s(x)??1?1?x?2
''1???x?n?1n?1n?1n?(?1)nx?(?1)x??【解析】?????1?x?(1?x)2
?n?1?n?1???101????1,?2,?3为线性无关的3维列向量组，（13）设矩阵A??112?，则向量组A?1,A?2,A?3的
?011???秩为_________
【答案】2
【解析】由?1,?2,?3线性无关，可知矩阵?1,?2,?3可逆，故
r?A?1,A?2,A?3??r?A??1,?2,?3???r?A?再由r?A??2得r?A?1,A?2,A?3??2
（14）设随机变量X的分布函数为F(x)?0.5?(x)?0.5?(数，则EX?_________
【答案】2
【解析】F?(x)?0.5?(x)?
x?4其中?(x)为标准正态分布函)，2??0.5x?40.5??x?4?()，故EX?0.5?x?(x)dx?x?()dx ?????2222????????x?4x?4???x?(x)dx?EX?0。令2?t，则???x?(2)dx=2????4?2t??(t)dt?8?1?4???t?(t)dt?8
因此E(X)?2.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
dy设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y?f(e,cosx)，求
dxxd2y2
x?0，dx
x?0
dy【答案】
dx【解析】
x?0d2y?f(1,1),2dx'1x?0''?f11(1,1), x?0y?f(e,cosx)?y(0)?f(1,1)?dydx??f1'ex?f2'??sinx??x?0x?0x?f1'(1,1)?1?f2'(1,1)?0?f1'(1,1) d2y''2x''x''x''2'x'?2?f11e?f12e(?sinx)?f21e(?sinx)?f22sinx?f1e?f2cosxdxd2y''?2?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)dxx?0结论：
dydx2?f1'(1,1)x?0''?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)x?0dydx2
（16）（本题满分10分）求lim?1 4【解析】
k?k?ln?1??2n???n? k?1nn【答案】
1kk111lim?2ln(1?)??xln(1?x)dx??ln(1?x)dx2?(ln(1?x)?x20n??n202k?1nn10??10x2?1?11dx)? 1?x4
（17）（本题满分10分）
已知函数y(x)由方程x3?y3?3x?3y?2?0确定，求y(x)的极值 【答案】极大值为y(1)?1，极小值为y(?1)?0 【解析】 两边求导得：
3x2?3y2y'?3?3y'?0 （1）
令y'?0得x??1
对（1）式两边关于x求导得 6x?6y?y'??3y2y''?3y''?0 （2）
2?x?1?x??1将x??1代入原题给的等式中，得?， or??y?1?y?0将x?1,y?1代入（2）得y''(1)??1?0 将x??1,y?0代入（2）得y''(?1)?2?0
故x?1为极大值点，y(1)?1；x??1为极小值点，y(?1)?0
（18）（本题满分10分）
设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)?0,lim?x?0f(x)?0，证明： x(?)方程f(x)?0在区间(0,1)内至少存在一个实根；
(?)方程f(x)f'(x)?(f'(x))2?0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
【答案】 【解析】
（I）f(x)二阶导数，f(1)?0,lim?x?0f(x)?0 x解：1）由于lim?f(x)?0，根据极限的保号性得
x?0xf(x)?0，即f(x)?0 ???0,?x?(0,?)有x进而?x0?(0,?)有f????0
又由于f(x)二阶可导，所以f(x)在[0,1]上必连续
那么f(x)在[?,1]上连续，由f(?)?0,f(1)?0根据零点定理得： 至少存在一点??(?,1)，使f(?)?0，即得证
（II）由（1）可知f(0)?0，???(0,1),使f(?)?0，令F(x)?f(x)f'(x)，则f(0)?f(?)?0 由罗尔定理???(0,?),使f'(?)?0，则F(0)?F(?)?F(?)?0， 对F(x)在(0,?),(?,?)分别使用罗尔定理：
??1?(0,?),?2?(?,?)且?1,?2?(0,1),?1??2，使得F'(?1)?F'(?2)?0，即
F'(x)?f(x)f''(x)??f'(x)??0在(0,1)至少有两个不同实根。 得证。
2
（19）（本题满分10分）
设薄片型物体S是圆锥面z?x2?y2被柱面z2?2x割下的有限部分，其上任一点的密度为
??9x2?y2?z2。记圆锥面与柱面的交线为C
(?)求C在xOy平面上的投影曲线的方程； (?)求S的M质量。
【答案】64 【解析】
22??z?x?y（1）由题设条件知，C的方程为??x2?y2?2x
2??z?2x?x2?y2?2x则C在xoy平面的方程为?
?z?0（2）
m????(x,y,z)dS???9x2?y2?z2dS?ssD:x2?y2?2x??92x2?y22dxdy??18??d??2?22cos?0r2dr?64
（20）（本题满分11分）设3阶矩阵A???1,?2,?3?有3个不同的特征值，且?3??1?2?2。
(?)证明 r(A)?2；
(?)若???1??2??3，求方程组Ax??的通解。
?1??1?????【答案】（I）略；（II）通解为k?2???1?,k?R
??1??1?????【解析】
（I）证明：由?3??1?2?2可得?1?2?2??3?0，即?1,?2,?3线性相关， 因此，A??1?2?3?0，即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
??1且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为????2??????,?1??2?0 0??∴r(A)?r(?)?2
（II）由（1）r(A)?2，知3?r(A)?1，即Ax?0的基础解系只有1个解向量，
?1??1??1??????， 由?1?2?2??3?0可得??1,?2,?3??，则的基础解系为2?A2?0Ax?0?????2???1???1???1????????1??1??1??????， Ax??又???1??2??3，即??1,?2,?3??，则的一个特解为1?A1???????1??1??1??1????????1??1????综上，Ax??的通解为k?2????1?,k?R ??1??1?????
22?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3 （21）（本题满分11分）设二次型f(x1,x2,x3)?2x12?x22在正交变换X?QY下的标准型?1y12??2y2，求a的值及一个正交矩阵Q
?1??3?1【答案】a?2;Q???3??1??3?120121??6?2?22,f x?Qy ?3y?6y 12?6?1??6?【解析】
?21?4?? f(x1,x2,x3)?XTAX，其中A??1?11????41a???2由于f(x1,x2,x3)?XTAX经正交变换后，得到的标准形为?1y12??2y2，
21?41?0?a?2， a故r(A)?2?|A|?0?1?1?41?21?4??，则 将a?2代入，满足r(A)?2，因此a?2符合题意，此时A??1?11????412?????2|?E?A|??14?14?1?0??1??3,?2?0,?3?6，
??1?1??2?1??； 由(?3E?A)x?0，可得A的属于特征值-3的特征向量为?1???1???1?????1?? 由(6E?A)x?0，可得A的属于特征值6的特征向量为?2??0???1????1?? 由(0E?A)x?0，可得A的属于特征值0的特征向量为?3??2???1?????3??，由于?,?,?彼此正交，故只需单位化即可：令P???1,?2,?3?，则P?1AP??6123???0????1?111TTT?1,?1,1?,?2???1,0,1?,?3??1,2,1?,， 326?1??3?1则Q???1?2?3????3??1??32f??3y12?6y2 x?Qy?120121??6???3?2??? T6?，QAQ???6??0???1??6?
（22）（本题满分11分）设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为P(X?0)?P(X?2)?1，2?2y，0?y?1 Y的概率密度为f(y)???0,其他(?)求P(Y?EY)
(?)求Z?X?Y的概率密度。
?z, 0?z?14【答案】(I)P{Y?EY}?;(II)fZ(z)??
z?2,2?z?39?【解析】
1(?)E(Y)??y2ydy?023224P(Y?EY)?P(Y?)??32ydy?039(?)Fz(Z)?P(Z?z)?P(X?Y?z)
?P(X?Y?z,X?0)?P(X?Y?z,X?2)?P(Y?z,X?0)?P(Y?z?2,X?2)?11P(Y?z)?P(Y?z?2)22（1） 当z?0,z?2?0，而z?0，则Fz(Z)?0 （2） 当z?2?1,z?1,即z?3时，Fz(Z)?1
12z 21（4）当1?z?2时，Fz(Z)?
211（5）当2?z?3时，Fz(Z)??(z?2)2
22（3）当0?z?1时，Fz(Z)?z?0?0?1?z2,0?z?1?2??1所以综上Fz(Z)??,1?z?2?2?112?2?2(z?2),2?z?3??1,z?3?
0?z?1?z'所以fz(Z)??Fz(Z)???
?z?22?z?3
（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量?是已知的，设n次测量结果X1,X2???Xn相互独立且均服从正态分布该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi?Xi??(i?1,2,???n)，利用Z1,Z2???Zn估N(?,?2)。计?。
(?)求Zi的概率密度；
(?)利用一阶矩求?的矩估计量
【答案】
z?2?2e2?, z?0?(I)fZi(z)??2??;??0, 其他21?n?=(II)矩估计??Xi??;n2i?11n?=(III)最大似然估计：?(Xi??)2?ni?1
【解析】(?)Fzi(z)?P(Zi?z)?P(Xi???z) 当z?0,Fz(z)?0
i当z?0,Fz(z)?P(?z?Xi???z)?P(??z?Xi???z)?FX(??z)?F(??z)
i当z?0时，
?2?2?2112?fzi(z)?Fzi(z)?fx(??z)?fx(??z)?e2??e2??e2?
2??2??2????'z2z2z2z?2?2e2?,z?0?综上fzi(z)??2??
?0,z?0?2(?)E?Zi????2??2??2????01z?2??2eze2?dz??2??02??2?z22?2dz2
?0e?z22?2z22?2d(?2)???2??2?1n1nZ??Zi??Xi??
ni?1ni?1^令E(Zi)?Z由此可得?的矩估计量???1X?2ni?1ni??
对总体X的n个样本X1,X2,???Xn，则相交的绝对误差的样本Z1,Z2,???Zn,Zi?xi?u,i?1,2...n,令其样本值为Z1,Z2,???Zn,Zi?xi?u
??Zi2n??2??i?12?2?,Z1,Z2,???Zn?0 则对应的似然函数L(?)????e??2?????0,其他n两边取对数，当Z1,Z2,???Zn?0时
21lnL(?)?nln?22??2??Zi?1n2i
dlnL(?)n1n2令???3?Zi?0
d?u?i?11n21nμZi?(Xi?u)2为所求的最大似然估计。 所以，????ni?1ni?1
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