第十五讲多边形的有关问丿
趣题引路】
如图15-1,用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律，拼成若干个图案.
（1）第四个图案中有白色地面砖 ________ 块.
⑵第n个图案中有白色地而砖 ___________ 块. 第一个图案有白砖数6, 6=4x14-2； 第二个图案有白砖数10, 10=4x2+2； 第三个图案有白砖数14,
第四个图案有白砖数18,
14=4x3 + 2； 18=4x4+2；
一般地，第“个图案有白色地砖（4“+2）块.
图 15-知识拓展】
1
1. 多边形的基本知识主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多 边形内
角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和左理是解有关多边形问题的基础.
2. 多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来解决，将多边形问题转化为三角形问题来解决是 解多
边形问题的基本策略，从凸“边形的一个顶点引出的对角线把凸n边形分成（\一2）个三角形，凸“边 形一共可引出匕”条对角线.
3. 多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外 角和
的“不变“来制约內角和的“变“，把内角问题转化为外角问题来处理，这也是解多边形相关问题的常用 技巧.
4. 多边形的内角和为（\一2）180。：外角和为360°；
正多边形的每个内角为,每个外角为迸2.
n n
一、多边形的内角与外角
例1 （2003年全国联赛题）在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（
A. 0
B. 1
C. 3
D. 5
）个.
解析由于任何凸多边形的所有外角之和都是360°,故外角中钝角的个数不超过3个.又因为内角与 外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个.实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形.故 选C.
点评 把内角问题转化为外角问题考虑.
0
例2 —个凸〃边形，除了一个内角外，其余(n~l)个角之和为2002°,求\的值.
解析本题实际上是求多边形内角和的延伸，要注意\为自然数且每个内角不大于180。这两个隐含条 件. 解 设除去的这个内角是X度，贝IJS — 2)x180。一屮=2002。，那么(n-2)x180°=2002°+x°?显然2002° +屮应是180啲倍数，故x°=158°,这时求得”=14?
二、多边形的边
例3 (2002年全国竞赛题)若人人含…几是一个正九边形，儿出=心AiA5=b.则/Ms等于(
A. >]a +b
)
22B. >Ja +ab + b
22C. *（“ + 〃）
D? a + b
解析 此题以正九边形为背景，考察观察能力和构造能力.不必画出完整图形，只需画岀有用的局部图 形.
解 如图15?2,延长A\\Az> AS,相交于点连纟吉A2A4,则A2A4//A\\A^^且/42人4=八1旳=/九因为正 九边形的每-个内角为吟竺”，所以SM—WJ-2)
譽540
故
△丹局和△刊2人4均为正三角形.所以A2P=A2A4=A［ A3=b.
Al A5=A\\ P=A] A2+A2 P=a+b?选 D?
例4 (1999年全国联赛题)设有一个边长为1的正三角形，记作川［如图15-3(1)］.将川的每条边三等 分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2,［如图15-3(2)］：将A, 的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作缶［如图15-3(3)］：再将如的每条边三等分，并重 复上述过程，所得到的图形记作/U那么，乐的周长是 ____________________________ ?
（1）
（2）
解析 从基本图形入手讣算.寻找规律.
（3）
图 15-3
3
解 从內开始，每进行一次操作，所得到的图形的周长是原来图形周长的上倍.所以, 出的周长是-x3=4:
3
川的周长是卜4斗； 凡的周长是=
0
3 3 9
三、 多边形的对角线问题
例5 (1)11-算凸十边形所有对角线的条数，以及以凸十边形顶点为顶点的三角形的个数.
(2) 在凸十边形每个顶点处任意标上一个自然数，在(1)中的三角形，若三个顶点所标三数之和为奇数，
则该三角形称为奇三角形；若三数之和为偶数，则称偶三角形，试判断：奇三角形个数是奇数还是偶数， 并证明你的结论.
解析(1)共有条对角线，因为边与对角线共有45条，每条属于8个三角形的边，贝IJ三 角形个数为兰竺=
120个.
3
(2) 奇三角形个数是偶数.因为凸十边形每个顶点属于40个三角形，也就是说凸十边形每个顶点所写 的数
在总和中计算了 40次，那么总和应为十顶点所标数和的40倍，则一左是偶数，偶三角顶点之和必为 偶数.故奇三角形个数必为偶数.
四、 多边形的证明问题
例6已知凸六边形的周长等于20,各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形.求 证：这样的六边形有无穷多个.
解析由n边形024)的不稳定性知，若存在一个这样的六边形，则必有无穷多个.故下面寻找是否存 在六个正整数⑷，“2,…，“6(不妨设满足
(1) q +a2 + ??? + a = 20 ：
(2) Sc—,\+a2
如果这样的六边形存在，则以q，①，…，绻为边长的六边形即符合要求.实际上，对任选三个整数
\\ & =8’满足上述全部条件. 所以，这样的六边形有无穷多个. 点评本题首先i正明了这样的六边形存在，然后根据“边形024)的不稳圧性，说明这样的六边形有无 穷多个. 五、多边形中的开放性问题 例7 (1999年全国联赛题)在正五边形ABCDE所在平而内能找到点P,使得△PCD与△BCD的而积相 等，并且AABP为等腰三角形.这样的不同的点P的个数为() A. 2 B. 3 C. 4 () D. 5 解析 可先动手画岀简图.由与△BCD的面积相等及等积变换的思想，点点P应在平行于CD 且与CD的距离等于B点到CD的距离的直线I上，这样的直线/ 有两条，且位于CD的两侧.然后再根据MBP为等腰三角形确左点P的个数. 如图15-4,由Sw =SABCQ知，点P只能在直线M即直线BE)与直线b上，英中b与CD平行且与 CD的距离等于71与CD的距离. 在等腰AABP中，按荘底边可分如下三种情形： (1) 当AB为底边时，AB的垂直平分线分别与人、b交于戸、P2,则戸、B是符合条件的点. (2) 当用为底边时，以B为圆心，BA为半径作圆，与人交于凡、P4两点，则巴、凡符合条件. (3) 当PB为底边时，只有E点符合条件. 综上所述，共有戸、B、巴、凡、E五个点符合题设全部条件，故应选D. 点评解答这类计数问题，需要分淸谁是底，谁是腰，可直接通过作图确左点P的个数，这里主要应 用了交轨法. 好题妙解】 佳题新题品味 例1 一个凸多边形的每一内角都等于140°,那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数有 () A. 9条 B. 8条 C. 7条 D. 6条 解析每一内角为140。，得每一外角为40。，360°-40°=9,即边数为9,故从一个顶点可作对角线9 一3=6 条，选 D. 例2设人儿…厲是一个有\个顶点的凸多边形，对每一个顶点A,(心1,2,3,…,“)，将构成该角的两边 分别反向延长至儿,人2,连接儿，4「得到两个角ZA?ZA2(扫描件版本中有错)，那么所有这些新得到的 角的度数的和是 ________________ . () 解析 注意每一内角与相邻的外角互补即可求. 故：nx 180° -(n -2)-180°=360°. 例3正五边形广场ABCDE的周长为2000m,甲、乙两人分别从A、C两点同时出发绕广场沿 CTD-E-A的方向行走，甲的速度为50m/min,乙的速度为46m/min ,则出发后经过 min,甲、乙第一次行走在 同一条边上. 解析 设甲泄完X条边时，两人走在同一条边上，此时甲走了 405 m,乙泄了 46X处 =36张m,甲、 50 乙两人的距离不大于正五边形的边长400m,所以(368x+800) — 400.W400. 解得x>12.5,而x为整数，取x=13. 400 r 所以，甲、乙走了 — = 104min后走到一条边上. 50 中考真题欣赏 例4 (吉林省妆口图15-5,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地而，请观察下列图形并解答 有关问题. (1) 在第”个图中，每一横行共有 ______________ 块瓷砖，每一竖列共有 _______________ 块瓷砖(均用 含”的代数式表示). (2) 设铺地而用瓷砖的总数为y,请写出y与⑴中“的函数关系式(不要求写自变量n的取值范带I). (3) 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地而共用了 506块瓷砖，求此时“值. (4) 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中共需花多少元钱购买瓷砖？ (5) 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情况？请通过计算说明，为什么？ 解析 n : 1 2 2x3 4 x 5-2 x 3 3 3x4 … /? … zi(n + 1) 白砖： 1x2 黑砖:3x4-lx2 5 x 6-3 x 4 …(n + 2)(/1 + 3)-n(n +1) 解(1加+3, 〃+2?(2)尸(卄3)(卄2)? (3) 当 y=506 时，5+3)5+2)=506, 解得“1 = 20, ”2=—25(舍去). 白色砖数：n(/?+1)=20x(204-1)=420. 黑色砖数：506-420=86? (4) 共需钱数：86x4+420x3 = 1604(元) (5) 如+1)=5+2)5+3)—⑷+1),化简得沪一3〃一6=0,解得\辽逅?因“的值不是整数， 2 ??一不存在黑、白瓷砖块数相等的情形. 0
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