参数方程典型例题分析

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参数方程典型例题分析

例1 在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（ ）．

（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0）

分析 由已知得可否定（A）又，分别将，，

1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．

例2 直线，点P 分

所成的比为

（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为， ，那么点P 对应的参数是（ ）．

（A） 分析 将，

（B）分别代入参数方程，

（C） （D）

得A 点的横坐标致为，B 点的横坐标为，

由定比分点坐标公式得P 的横坐标为

，

可知点P所对应的参数是故应选（C）．

例3 化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线．

（1） （为参数，）

（2） （为参数）；

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（3） （为参数），

解：（1）∵

∴ ，

∴

或

故普通方程为

（

或

），方程的曲线如图．

（2）将代入得

∵普通方程为（），方程的曲线如图．

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（3）两式相除得代入得

整理得

∵

∴ 普通方程为（），方程的曲线如图．

点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，数方程等价．

的范围，以保证普通方程与参

例4 已知参数方程

① 若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ ② 若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？

解：①当时，由（1）得，由（2）得，

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∴

，

它表示中心在原点，

长轴长为 当

时，

，短轴长为

，

的一段线段．

焦点在轴上的椭圆．

，

它表示在轴上

②当（）时，由（1）得，

由（2）得．平方相减得，

即

它表示中心在原点，实轴长为 焦点在轴上的双曲线． 当

（

）时，

，虚轴长为，

，它表示轴；

当（）时，，

∵（时）或（时）

∴

，

∴ 方程为（），

它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线．

点评 本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数．

例5 直线直线的倾斜角

（为参数）与圆

为（ ）．

（为参数）相切，则

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（A）或 （B）或 （C）或 （D）或

分析 将参数方程化为普通方程，直线为（），

当时不合题意．

因为，它们相切的充要条件是，

解得 ，又，

∴ 或，故选（A）．

例6 求椭圆上的点到直线的最大、最小距离．

解 将椭圆普通方程化为参数方程 则椭圆任意一点 于是点

到直线

的坐标可设为

（的距离

（，

）， ），

∴，此时；，此时

点评 利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题．

例7 已知点P是圆C：

点为Q，半径CP绕圆心C按逆时针方向旋转

上一动点，点P关于点A（5，0）的对称后得到点M，求

的最大值和最小值．

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