极化恒等式速解一类平面向量问题
浙江省绍兴市柯桥区教师发展中心 施建昌 312030
极化恒等式是大学数学基础课程《泛函分析》（Functional Analysis）中的知识，经过简单的变形就可转化为如下平面向量基本关系式，对于向量a,b，通过恒等变形可得
D O C
a?b?21?a?b?(a?b)2?，再经过几何延伸，如图所示，对于平
???4???行四边形ABCD，满足AB?AD?AO?OD，这样极化恒等式就
22A B 将平面向量的数量积（也称为点积）关系转化为了两个平面向量的长度关系，使不可度量的向量数量积关
系转化为可度量、可计算的数量关系，其意义不同凡响．若能借助于极化恒等式那就可以速解一类有关平面向量数量积的问题，下面分四类例析：
一．数量积与线性问题
例1．（2014杭州市摸拟试题）已知向量a,b满足2a?3b?1，则a?b最大值为 分析：此题主要是通过给出平面向量的线性条件，来求解平面向量数量积的最大值，问题设置简洁漂亮，但考生化解破费脑劲，原因是此题突破的思路看似很多，但走起来都要费一翻功夫，然后若能借助于平面向量的极化恒等式，那破解起来可谓事半功倍．
解析1：（方程构造法）构造方程?2a?3b??(2a?3b)?24a?b
22(2a?3b)2(2a?3b)21(2a?3b)211则a?b?，当且仅当2a?3b，且a?时，上式等号成立． ????24242424244解法2：（不等式法）对于条件2a?3b?1，则有4a?9b?12ab?1， 又因?2a?3b??0，则有4a?9b?12a?b，则12a?b?1?12a?b，
22222因此a?b最大值为
1 24解法3：（极化恒等式法）设2a?OA，3b?OB，取AB的中点为M，
B M
1，对于?OAB，因?BOA可以变化，当?BOA趋向于0度时，MB222111趋向于0，而OM?，则2a?3b?OA?OB?OM－MB?-0?，
442OM?O A
1因此a?b最大值为
24点评：破解此类问题，因涉及的路径入口较多，方法也是层出不穷．构造法和不等式法在破解时虽也是简洁明了，但因为要想到这类方法的突破口较为困难，对很多学生而言，理解尚可，掌握就较为困难了；而若能借助于极化恒等式，只要能画出线性图形，结合几何意义，问题的突破就有一种水到渠成的快感．
二．数量积与三角形问题
例2．（2013浙江，7）设?ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B?1AB，且对于边AB上任一点P，4恒有PB?PC?P，则（ ） 0B?PC0A．?ABC?90 B．?BAC?90 C．AB?AC D．AC?BC
分析：此题若采用普通的方法，只能通过一个一个的检验，对不满足条件的情况进行排除，对满足条件的情况进行论证；而若能采用极化恒等式进行突破，结合三角形的特点，就可将问题转化为点到直线的距离最小问题，使复杂多变的几何问题变得单一和直观，破解效率当然大大提高
解析：（函数法）选项A,B,C均可通过特殊值排除， 而对于AC?BC的情况，?ABC为等腰三角形， 点P0是底边的四分之一点， 如图所示，P0B?001AB，4为PB?PC的最小值，不妨作CM?AB，∴P0B?PC0C
AM?MB；不妨设AB?4,BP?x,MP0?P0B?1，
MP?x?2,根据向量数量积的定义，∴
PB?PC?(x?2)x?x2?2x?(x?1)2?1??1，
当x?1时，即P在P0处时，P为PB?PC的最小0B?PC0值
，
因
此
有
A P
M P0
B
P0B?P0C?P0B?P0Ccos?CP0B??P0M?P0B??1因此满足条件PB?PC?P0B?PC0．宜选D
解析：（借助于极化恒等式）如图所示，设D为BC的中点，由极化恒等式得PB?PC?PD?BD，， P0B?PC?P0D?BD，则由PB?PC?P00B?PC022即PD?P0D，得PD?P0D?AB，所0D，故P22C
22D
以有AC?BC，宜选D
点评：在三角形问题中运用极化恒等式，可使复杂问题简单化，综合问题单一化，抽象问题具体化，更便于考生化解和突破
三、数量积与圆问题
例3．已知过点A?0,1?，且斜率为k的直线l与圆C：
A P
P0
B
?x?2?2?(y?3)2?1相交于M,N两点．
求AM?AN的值．
分析：这类向量点积问题若采用普通方法也可以化解，即将平面向量问题坐标化突破求解，然而若能结合极化恒等式点积值的求解可事半功倍，运算速度可用极速形容．
解析：（普通方法）设直线l与圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2)， 则AM?(x1,y1?1),AN?(x2,y2?1)， 由直线
y M G N C x A O y?kx?1与圆
?x?2?2?(y?3)2?1联立得
?1?k?x22?4(1?k)x?7?0，
12k2?4k?174(1?k)2因此有x1x2?，y1y2?kx1x2?k?x1?x2??1?， ,x1?x2?1?k21?k21?k26k2?4k?2y1?y2?k(x1?x2)?2?，因此可得AM?AN?x1x2?y1y2?(y1?y2)?1 21?k712k2?4k?16k2?4k?2????1?7 1?k21?k21?k2解析：（借助于极化恒等式）
如图所示，取MN的中点为G，则CG?MN， 由极化恒等式可得AM?AN?AG?MG
22y ?AC?CG?(MC?CG)
?AC?MC?AC?1?8?1?7
222?22?A O M G N C x 22点评：采用普通方法运算向量点积值的计算求解运算量大，也容易出错，若能结合极化恒等式就能化繁为简，数形结合效果好．
四．数量积与圆锥曲线问题
x2y2??1上经过原点的一条动弦，M为圆C：例4．（2014年绍兴市期末试题）已知A,B为双曲线
164x2?(y?2)2?1上的一个动点，则MA?MB的最大值为（ ）
A．?15 B．?9 C．?7 D．?6
分析：圆锥曲线中的向量关系的运算求解若采用普通的方法一般就是运用坐标法结合韦达定理进行运算求解，此法运算量大，需要考生有扎实的运算功底，若能采用极化恒等式，结合图形，那运算就直观、简捷高效．
22解析：（普通方法）设M?x0,y0?，满足x0?(y0?2)?1；
x12y12??1 设A?x1,y1?,B(?x1,?y1)，满足
164y C 2 M MA?(x1?x0,y1?y0)，MB?(?x1?x0,?y1?y0)，
因此MA?MB?x0?x?y0?y?x0?y0?(x?y)
221221222121B A O x x1215?1?(y0?2)?y0?[x?(?1)?4]?1?4y0?x12，
1642221因此MA?MB的最大值为1?4?y0?max?15152?x1?min?1?4?3??16??7 44解析：（借助于极化恒等式）如图所示，O为A,B的中点， 由极化恒等式可得MA?MB?MO?OA， 而MO2max22y C 2 M ?(2?1)?9，OA22min?4，
2B A ?9?42??7，宜选C
x O 因此MA?MB的最大值为MO2max?OA2min点评：极化恒等式的运用，在圆锥曲线中若能结合其规律特点那运用效果是非常不错的，既作为工具的极化恒等的应用之美，也体现了数学的几何之美．
注：此文发表于《中学数学教学参考》2014年第12期，并在2015年《人大报刊复印资料》转载
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