2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设f(x)?x(x?1)(x?2)，则f(x)的零点个数为（ ）
2'?A?0 ?B?1. ?C?2 ?D?3
（2）曲线方程为y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分
?a0aft(x)dx（ ）
?A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积. ?D?三角形ACD面积.
x（3）在下列微分方程中，以y?C1e?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为
通解的是（ ）
?A?y'''?y''?4y'?4y?0 ?C?y'''?y''?4y'?4y?0
?B?y?y?4y?4y?0
''''''
?D?y'''?y''?4y'?4y?0
（5）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）
?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.
（6）设函数f连续，若F(u,v)?Duv
?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.
2??f(x2?y2)x?y2dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则
?F? ?uvf(u2) uv?C?vf(u) ?D?f(u)
u?A?vf(u2) ?B?
1
（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A?0，则（ ）
3?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.
?B?E?A不可逆，E?A可逆. ?D?E?A可逆，E?A不可逆.
?12?（8）设A???，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ）
21???A????21??.
?1?2?
?B???2?1??.
??12??21??C???.
12???1?2? ?D???.
?21??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数f(x)连续，且limx?01?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?1，则f(0)?____.
（10）微分方程(y?xe)dx?xdy?0的通解是y?____.
（11）曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. （12）曲线y?(x?5)x的拐点坐标为______. （13）设z??232?x?z?y?，则??x?x?xy(1,2)?____.
（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48，则??___.
三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
sinx?sin?sinx??sinx???lim(15)（本题满分9分）求极限. x?0x4
(16)（本题满分10分）
x?x(t)??设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中x(t)是初值问题t2y??ln(1?u)du?0??dx?x?2y??2te?0的解.求2. ?dt?x?xt?0?0?1
(17)（本题满分9分）求积分
(18)（本题满分11分）
求二重积分
?1xarcsinx1?x20dx.
??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}
D
(19)（本题满分11分）
设f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1.对任意的
t??0,???，直线x?0,x?t，曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周
生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.
(20)（本题满分11分）
(1) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点
??[a,b]，使得
?baf(x)dx?f(?)(b?a) (2)若函数?(x)具有二阶导数，且满足
32?(2)??(1),?(2)???(x)dx，证明至少存在一点??(1,3),使得???(?)?0
（21）（本题满分11分）
求函数u?x?y?z在约束条件z?x?y和x?y?z?4下的最大值与最小值.
（22）（本题满分12分）
22222?2a1?2a2a设矩阵A????2a????，现矩阵A满足方程AX?B，其中1??2a?n?nX??x1,,xn?，B??1,0,nT,0?，
（1）求证A??n?1?a；
（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.
1
（23）（本题满分10分）
设A为3阶矩阵，?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量?3满足
A?3??2??3，
（1）证明?1,?2,?3线性无关； （2）令P???1,?2,?3?，求P?1AP.
1
1
相关推荐：
loading