第3讲 三角函数的图象与性质
一、选择题
1．函数f(x)＝2sin xcos x是( )． A．最小正周期为2 π的奇函数 B．最小正周期为2 π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数
解析 f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数． 答案 C
??ππ??
2．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)?θ∈?－2，2??是偶函数，则θ的值为
????
( )．
A．0
π
B.6
π
C.4
πD.3 π?π?
解析 据已知可得f(x)＝2sin?x＋θ＋3?，若函数为偶函数，则必有θ＋3＝kπ
??ππππ?ππ?＋2(k∈Z)，又由于θ∈?－2，2?，故有θ＋3＝2，解得θ＝6，经代入检验符??合题意． 答案 B
?ππ?3．函数y＝2sin?6x－3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为
??A．2－3
B．0
C．－1
D．－1－3
( )．
πππ7π3?ππ?
解析 ∵0≤x≤9，∴－3≤6x－3≤6，∴－2≤sin?6x－3?≤1，∴－3
???ππ??πxπ?x－≤2sin?63?≤2.∴函数y＝2sin?6－3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2????－3. 答案 A
4．函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x的最小正周期为( )．
A．2π B.
3ππ C．π D. 22
π??
解析 依题意，得f(x)＝cos x＋3sin x＝2sin?x＋?.故最小正周期为
6??2π. 答案 A
5．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )． A．[－1,1] ?5?
C.?－，1? ?4?
?5?B.?－，－1? ?4?5??－1，? D.?
4??
解析 (数形结合法)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，则有y＝t2＋t－1，
t∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t＝－及t＝1?5?
时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈?－，1?.
?4?
12
答案 C
π5π
6．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝4和x＝4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝ πA.4
π
B.3
( )．
π
C.2 3πD.4 ?5ππ?解析 由题意可知函数f(x)的周期T＝2×?4－4?＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x
??πππ
＋φ)，令x＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，将x＝4代入可得φ＝kπ＋4(k∈Z)，∵0<φ<π，π∴φ＝4. 答案 A 二、填空题
7．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，π???5π?0，??且当x∈时，f(x)＝sin x，则f?3?的值为________． ?2???π3?5π??π??π?
解析 f?3?＝f?－3?＝f?3?＝sin 3＝2.
??????3
答案 2 π??
2sin?x＋?＋2x2＋x4??
8．函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝
2x2＋cos x________.
解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，
f(x)＝1＋＝2. 答案 2
x＋sin x，f(x)－1为奇函数，则m－1＝－(M－1)，所以M＋m2x2＋cos x11
9．已知函数f(x)＝2(sin x＋cos x)－2|sin x－cos x|，则f(x)的值域是________． 11
解析 f(x)＝2(sin x＋cos x)－2|sin x－cos x| ?cos x?sin x≥cos x?，＝? ?sin x?sin x 2 画出函数f(x)的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为2，故值域为?2??－1，?. 2?? ?2? 答案 ?－1，? 2??10．下列命题中： π ①α＝2kπ＋3(k∈Z)是tan α＝3的充分不必要条件； ②函数f(x)＝|2cos x－1|的最小正周期是π； ③在△ABC中，若cos Acos B>sin Asin B，则△ABC为钝角三角形； π ④若a＋b＝0，则函数y＝asin x－bcos x的图象的一条对称轴方程为x＝4. 其中是真命题的序号为________． π 解析 ①∵α＝2kπ＋3(k∈Z)?tan α＝3， π 而tan α＝3?/ α＝2kπ＋3(k∈Z)，∴①正确． ②∵f(x＋π)＝|2cos(x＋π)－1| ＝|－2cos x－1|＝|2cos x＋1|≠f(x)，∴②错误． ③∵cos Acos B>sin Asin B，∴cos Acos B－sin Asin B>0， π 即cos(A＋B)>0，∵0 ?π?y＝asin x－bcos x＝asin x＋acos x＝2asin?x＋4?， ??π ∴x＝4是它的一条对称轴，∴④正确． 答案 ①③④ 三、解答题 11. 已知函数f(x)＝2sinxcosx－2sin2x＋1. (1)求函数f(x)的最小正周期及值域； (2)求f(x)的单调递增区间． π?? 解 (1)f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin?2x＋?， 4??则函数f(x)的最小正周期是π， 函数f(x)的值域是[－2，2]. (2)依题意得2kπ－ πππ ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 242
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