5ππ
kπ－，kπ＋?(k∈Z)． 故f(x)的单调递增区间为?1212??
[综合题组练]
π
1．已知函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(x∈R)，又f(α)＝2，f(β)＝2，且|α－β|的最小值是，
2则正数ω的值为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
πωx＋?. 解析：选D.函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2sin?3??π
由f(α)＝2，f(β)＝2，且|α－β|的最小值是，
2π
所以函数f(x)的最小正周期T＝，
22π
所以ω＝＝4.
π2
π
0＜ω＜1，|φ|＜?的图象2．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)?2??2π
经过点(0，1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是( )
3
π2π?A．f(x)在??12，3?上是减函数
B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0 π
2kπ，2kπ＋?，k∈Z C．f(x)≥1的解集是?3??π
－，0? D．f(x)图象的一个对称中心是??3?
1ππ
解析：选D.由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝，又|φ|＜，所以φ＝，
226π2π2ππ
ωx＋?.因为f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(x)＝2sin?所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ6??3361π?π3m11π1
x＋.令2nπ＋≤x＋＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝，则f(x)＝2sin??26?222222π3π2π8π
≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A错误；若x＝x0是f(x)图象的对6233称轴，则f(x)在x＝x0处取得极值，所以一定有f′(x0)＝0，故B错误；由f(x)≥1得4kπ≤x≤ππ4π
－?＝0，所以?－，0?是其图象的一个对称中心，故D4kπ＋，k∈Z，故C错误；因为f??3??3?3正确．选D.
3．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程； π
0，?上的单调性． (2)讨论函数f(x)在??2?π
ωx－?，且T＝π，所以ω＝2.于是，f(x)＝2解：(1)因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin?4??πππkπ3π
2x－?.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为xsin?4??4228kπ3π
＝＋(k∈Z)． 28
π3ππππ
kπ－，kπ＋?(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为?88??242ππ3π
0，?，所以令k＝0，得函数f(x)在?0，?上的单调递增区间为?0，?；(k∈Z)．注意到x∈?8??2??2??3ππ?同理，其单调递减区间为??8，2?.
π?3
－xsin x－3cos2x＋. 4．已知函数f(x)＝sin??2?2(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
2
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
3解：(1)f(x)＝cos xsin x－
3
(2cos2x－1) 2
π13
2x－?. ＝sin 2x－cos 2x＝sin?3??22
ππ5
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.
32125
(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ(k∈Z)，
125
所以当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.
122
又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.
355
所以x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，
66
5π
π－2x2?＝sin?2x2－?， 所以cos(x1－x2)＝cos?3??6??π2
2x2－?＝， 又f(x2)＝sin?3?3?
2
故cos(x1－x2)＝.
3
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