二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识要点梳理
知识点一、二次根式的主要性质： 1.
； 2.
； 3.
； .
；
4. 积的算术平方根的性质： 5. 商的算术平方根的性质： 6.若
，则
.
知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算
(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广：
2．二次根式的加减运算 先化简，再运算，
3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 二、分类练习与讲解： 1、 二次根式的概念
我们把形如a(a?0)的式子叫做二次根式，
如3,1,32,x2?1,x?1(x?1)等，都是二次根式
5注意：① 二次根式都含有二次根号\\；
② 在二次根式中，被开方数a必须满足a?0，当a?0时，根式无意义； ③ 在二次根式中，a可以是数也可以是一个代数式； ④ 二次根式a(a?0)是a的算术平方根，所以a?0。 例1、当x为任意实数时，下列各式有意义的是（ ）
A．?2x B．
1 C．2x?x2?3 D．(3x?100)2
例2、当x为何值时，下列各式有意义？
?
x2?1； ?
3x?1 1?xa(a?0)2、 二次根式的性质性质：a2?a?? ???a(a?0)注意：性质a?a表明：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，需注意的是a2不是等于a，而
是等于a，再根据a的正、负确定最后的结果。
例3 已知x?2，则x2?4x?4的结果是______________
2
例4 已知x满足2005?x?x?2006?x，那么x?20052的值为（ ）
A．2004 B．2005 C．2006 D．2007 练习：二次根式的意义及性质
题组1：（二次根式的识别：式子a（a?0），叫做二次根式） 1．下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A．?x2?1 B．25 C．?4 D．1?x 2．下列各式中，是二次根式的有_____________________________。（填序号） ①7； ②9； ③a2； ④x2?2； ⑤?3； ⑥??5?2； ⑦?2x2?1； ⑧2n2?1； ⑨2x?1； ⑩39；
3．下列各式中，是二次根式的有_____________________。（填序号） ①a； ②?a； ③2a2； ④?a2； ⑤?a2?1； ⑥a2?1； ⑦4．若0?x?1，则下列各式中，是二次根式的是（ ） A．x?1 B．x?2 C．5； 31?x D．?x?1 x2题组2：（二次根式有意义的条件）
1．当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）a?2___________；（2）3?a__________；（3）5a_________；（4）?a______。 2．当x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）3?2x______；（2）12x?1______；（3）4?2x_________；（4）x2?3_______； x?13．已知y?2?x?x?2?5，则x2?y的值是_______________。 题组3：（二次根式的性质：a?0）
1．若|x?2|?y?3?0，则?3xy的值是_________；
2．若2x?1??y?2，则2x?1?题组4：（二次根式的性质：
??1?3y?的值是___________。
??a2?a(a?0)，a2?|a|）
1．计算：
?3?2=_____；32=_______；?0.2??2??2?2?=______；??3??=_______；
??22．在实数范围内因式分解：（1）x2?2=_________________；（2）x4?9=________________。 3．0.32=______；
?2??2??3?=________；10=_______；??
2???3.14?2=___________。
4．若5．若?1?2x?2?2x?1，则x的取值范围是____________。 ?3?2x，则x的取值范围是____________。
?3?2x?26．已知a,b,c是三角形的三边，则?a?b?c?2??a?b?c?2的值为（ ）
A．2b B．?2b C．a?2c D．2c?2a
7．已知18?n是整数，则自然数n的值是____________。若32n是整数，则正整数n的最小值是_________ 3、 二次根式的乘除法法则
（1）一般地，对二次根式的乘法规定
a?b?ab(a?0,b?0)。 ab?a(a?0,b?0)。 b 对二次根式的除法规定 （2）二次根式的乘法法则的逆用
把a?b?ab(a?0,b?0)反过来，就得到ab?a?b(a?0,b?0)
把
ab?aaa(a?0,b?0)反过来，就得到?(a?0,b?0) bbb3221?323 （2）5例5 计算 （1）
（3）14?112 （4）
12?321?312530?24a3b?(?a )4b
4、 最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 ? 被开方数不含分母；? 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 例如50可化简为52，例6、化简
?
23可化简为
63等，
12； ?
4x3； ? m4?m2n2(m?0)； ?
13?2
例7 化简：将a2m?3?b2n?1化为最简根式
5、二次根式的加减法 （1） 同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 例8 在二次根式①12；②23；③
2；④27中，与3是同类二次根式的是（ ） 3 A．①，③ B．②，③ C．①，④ D．③，④ （2） 二次根式的加减法
二次根式的加减，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并，并且计算的结果一定要化为最简。 例9 22?8?50的結果是______________. 例10 已知a?3?b?2，化简
a2?4a?4?b2?4b?4
3、二次根式的混合运算
? 二次根式的混合运算顺序与整式混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的。 ? 在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式依然适应。 例11、计算 ?
? (6?2)(6?3)； ? (23?2)2
3(6?8)； ? 43?36?23；
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