4.1.2 圆的一般方程
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．已知圆的方程是x＋y－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是( ) A．2x－y＋1＝0 C．2x－y－1＝0
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B． 2x＋y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0
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解析：把x＋y－2x＋6y＋8＝0配方得(x－1)＋(y＋3)＝2，圆心为(1，－3)， 直线2x＋y＋1＝0过圆心． 答案：B
2．如果方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有( ) A．D＝E C．E＝F
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B．D＝F D．D＝E＝F
解析：由已知D＋E－4F>0，可知方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线为圆．若圆关于y＝x对称，则知该圆的圆心在直线y＝x上，则必有D＝E. 答案：A
3．经过圆x＋2x＋y＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是( ) A．x＋y＋1＝0 C．x－y＋1＝0
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B．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
解析：x＋2x＋y＝0配方得(x＋1)＋y＝1， 圆心为(－1,0)，故所求直线为y＝x＋1， 即x－y＋1＝0. 答案：C
4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A．x＋y－2x＋4y＝0 B．x＋y＋2x＋4y＝0 C．x＋y＋2x－4y＝0 D．x＋y－2x－4y＝0
解析：直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，
??－x－y＋1＝0，由?
?x＋1＝0?
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得C(－1,2)．
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∴圆的方程为(x＋1)＋(y－2)＝5，
1
即x＋y＋2x－4y＝0. 答案：C
5．若实数x，y满足x＋y－2x－2y＋1＝0，则
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22
y－4
的取值范围为( ) x－2
?4?A.?0，? ?3?
4??C.?－∞，－? 3??答案：B
?4?B.?，＋∞?
?3??4?D.?－，0? ?3?
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6．直线与圆x＋y＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点Q为(0,1)，则直线
2
l的方程为________________．
2－1
解析：圆心P(－1,2)，AB中点Q(0,1)，kPQ＝＝－1，∴直线l的斜率k＝1，故直线
－1－0
l的方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
7．已知圆C：x＋y－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．
解析：由x＋y－2x＋2y－3＝0得，(x－1)＋(y＋1)＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，
??x0＋0＝2，
y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得?
?y0＋1＝－2，?
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??x0＝2，
解得?
?y0＝－3，?
所以点B的坐标为(2，－3)． 答案：(2，－3)
8．当动点P在圆x＋y＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________． 解析：设Q(x，y)，P(a，b)，
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a＋3
x＝??2
由中点坐标公式?b＋1
y＝??2
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??a＝2x－3
，得?
?b＝2y－1?
，
点P(2x－3,2y－1)满足圆x＋y＝2的方程， 所以(2x－3)＋(2y－1)＝2，
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?3?2?1?21
化简得?x－?＋?y－?＝，
?2??2?2
此即为点Q的轨迹方程．
?3?2?1?21答案：?x－?＋?y－?＝
?2??2?2
9．已知方程x＋y－2(t＋3)x＋2(1－4t)y＋16t＋9＝0(t∈R)所表示的图形是圆．
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4
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t)恒在所给圆内，求t的取值范围．
解析：(1)已知方程可化为(x－t－3)＋(y＋1－4t)＝(t＋3)＋(1－4t)－16t－9， 122
∴r＝－7t＋6t＋1>0，∴－ 7(2)r＝ －7t＋6t＋1＝ 3?1?∵∈?－，1?， 7?7? 347 ∴当t＝时，圆的面积最大，rmax＝， 77 2 2 22 2 22 4 2 ?3?216 －7?t－?＋， ?7?7 ?24?2?13?216 所对应的圆的方程是?x－?＋?y＋?＝. 7??49?7? (3)当且仅当3＋(4t)－2(t＋3)×3＋2(1－4t)·4t＋16t＋9<0时，点P恒在圆内， 32 ∴8t－6t<0，∴0 10．设△ABC顶点坐标A(0，a)，B(－3a，0)，C(3a，0)，其中a>0，圆M为△ABC的外接圆． (1)求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由． 解析：(1)设圆M的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵圆M过点A(0，a)，B(－3a，0)，C(3a，0) 2 2 2 22 2 2 4 ?∴?3a＋?3a－a2＋aE＋F＝0 3aD＋F＝0 3aD＋F＝0 2 ， 解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a. ∴圆M的方程为x＋y＋(3－a)y－3a＝0. (2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x＋y＋3y)＝0. ?3＋y＝0?由?22 ??x＋y＋3y＝0 2 2 2 ，解得x＝0，y＝－3. ∴圆M过定点(0，－3)． [B组 能力提升] 1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( ) 3 A. π B．4π C．8π D．9π 解析：设动点轨迹坐标为P(x，y)， 则由|PA|＝2|PB|， 知 x＋ 2 ＋y＝2 2 x－ 2 ＋y，化简得(x－2)＋y＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆 222 心，以2为半径的圆，该圆面积为4π. 答案：B 2．在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是(－2,0)和(2,0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是( ) A．x＋y＝3 C．x＋y＝9(y≠0) 解析：如图所示，BC的中点D(0,0)， ∵|AD|＝3，∴点A在以D(0,0)为圆心，3为半径的圆上，且A、B、C三点不共线． 2 2 2 2 B．x＋y＝4 D．x＋y＝9(x≠0) 2 2 22 ∴A的轨迹方程是x＋y＝9(y≠0)． 答案：C ?3?222 3．若a∈?－2，0，1，?，则方程x＋y＋ax＋2ay＋2a＋a－1＝0表示的圆的个数为 4?? 2 2 ________． 解析：要使方程x＋y＋ax＋2ay＋2a＋a－1＝0表示圆，则应有a＋ (2a)－4(2a＋a－2 1)>0，解得－2 3答案：1个 4．已知A，B是圆O：x＋y＝16上的两点，且|AB|＝6.若以AB为直径的圆M恰好经过点 2 2 2 2 2 2 2 2 C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________________． 解析：设圆心为M(x，y)． 由|AB|＝6，知圆M的半径长r＝3，则|MC|＝3， 即 x－ 2＋y＋ 2 2＝3，所以(x－1)＋(y＋1)＝9. 22 答案：(x－1)＋(y＋1)＝9 5．设定点M(－3,4)，动点N在圆x＋y＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 2 2 2 ??解析：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为?，?，?22? 4 xy 线段MN的中点坐标为? ?x0－3，y0＋4?. ?2??2 由于平行四边形的对角线互相平分， xx0－3yy0＋4 故＝，＝， 2222 ??x0＝x＋3，从而? ?y0＝y－4.? 2 2 又点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)＋(y－4)＝4. 9122128当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝. 5555 ?912??2128?22 因此所求轨迹为圆(x＋3)＋(y－4)＝4，除去点?－，?和点?－，?. ?55??55? 6．已知圆C：x＋y＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程． 2 2 ??解析：圆心C?－，－?， 2??2 ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－－－1＝0，即D＋E＝－2. 22又∵半径长r＝∴D＋E＝20. ??D＝2， 由①②可得? ?E＝－4? 2 2 DEDE① D2＋E2－12 2 ＝2， ② ??D＝－4， 或? ?E＝2.? ??D＝2， 又∵圆心在第二象限，∴－<0，即D>0.则? 2?E＝－4.? D 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 5
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