2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)

梦想不会辜负每一个努力的人 即（x2+y2）（1+）=16，

∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2， 两边开方得：x2+y2=4x，

整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），

∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）． （2）点A的直角坐标为A（1，

），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，

=．

，

∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d=∴△AOB的最大面积S=|OA|?（2+

）=2+

【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．

[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明： （1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2．

【分析】（1）由柯西不等式即可证明， （2）由a3+b3=2转化为（

=ab，再由均值不等式可得：

=ab≤

）2，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．

+

）2=

【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（（a3+b3）2≥4， 当且仅当

=

，即a=b=1时取等号，

（2）∵a3+b3=2，

∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴

=ab，

梦想不会辜负每一个努力的人 由均值不等式可得：∴（a+b）3﹣2≤∴（a+b）3≤2，

，

=ab≤（）2，

∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．

【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题