|b a b a ≤ ?
例1 、已知向量(1,2,(,1,2a b x u a b ===+,2v a b =-,且//u v ,求实数x 的值 解: 因为(1,2,(,1,2a b x u a b ===+,2v a b =-
所以(1,22(,1(21,4u x x =+=+,2(1,2(,1(2,3v x x =-=- 又因为//u v 所以3(214(20x x +--=,即105x = 解得12 x =
例2、已知点6,2(,4,4(,0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB (O 为坐标原点交点P 的坐标
解: 设(,P x y ,则(,,(4,OP x y AP x y ==- 因为P 是AC 与OB 的交点 所以P 在直线AC 上,也在直线OB 上 即得//,//OP OB AP AC 由点6,2(,4,4(,0,4(C B A 得,(2,6,(4,4AC OB =-= 得方程组6(420 440x y x y -+=??-=? 解之得3
3
x y =??=?
故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3 六、平面向量的数量积 1、两个向量的数量积:
已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积(或内积 规定00a ?=
2、向量的投影:︱b ︱cos θ= || a b
a ?∈R ,称为向量
b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射 影
3、数量积的几何意义: a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4、向量的模与平方的关系:22||a a a a ?== 5、乘法公式成立: ((2 2
22a b a b a b a b +?-=-=-;
(2 2 2
2a b a a b b ±=±?+2 2
2a a b b =±?+
6、平面向量数量积的运算律: ①交换律成立:a b b a ?=? ②对实数的结合律成立:((((a b a b a b R λλλλ?=?=?∈
③分配律成立:(a b c a c b c ±?=?±?(c a b =?± 特别注意:(1结合律不成立:((a b c a b c ??≠??;
(2消去律不成立a b a c ?=?不能得到b c =? (3a b ?=0不能得到a =0或b =0 7、两个向量的数量积的坐标运算: 已知两个向量1122(,,(,a x y b x y ==,则a ·
b =1212x x y y + 8、向量的夹角:已知两个非零向量a 与b ,作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ (001800≤≤θ叫做向量a 与b 的夹角
cos θ=cos ,a b a b a b ?<>=
?= 2 2 2 22 12
12121y x y x y y x x +?++
当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时,θ=00,当且仅当a 与b 反方向时θ=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9、垂直:如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直,记作a ⊥b
10、两个非零向量垂直的充要条件; a ⊥b ?a ·b =O ?02121=+y y x x 平面向量数量积的性质
例1、 判断下列各命题正确与否: (100a ?=;(200a ?=; (3若0,a a b a c ≠?=?,则b c =;
⑷若a b a c ?=?,则b c ≠当且仅当0a =时成立; (5((a b c a b c ??=??对任意,,a b c 向量都成立; (6对任意向量a ,有2
2a a =
解:⑴错; ⑵对; ⑶错; ⑷错; ⑸ 错;⑹对
例2、 已知两单位向量a 与b 的夹角为0120,若2,3c a b d b a =-=-,试求c 与d 的夹角
解: 由题意,1a b ==,且a 与b 的夹角为0120, 所以,01 cos1202 a b a b ?==-, 2
c c c =?=(2(2a b a b -?-22447a a b b =-?+=, 7c ∴=,
同理可得13d ∴= 而c d ?=2217(2(37322
a b b a a b b a -?-=?--=-, 设θ为c 与d 的夹角, 则182 91 1713 7217cos -
==θ 1829117arccos -=∴πθ
例3、 已知(4,3a =,(1,2b =-,,m a b λ=-2n a b =+,按下列条件求实数λ的值 (1m n ⊥;(2//m n ;(3m n = 解:(4,32,m a b λλλ=-=+-(27,8n a b =+= ∴(1m n ⊥((082374=?-+?+?λλ952 -
=?λ; (2//m n ((072384=?--?+?λλ2
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