点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
22．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2300元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2500元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2500元？
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）设件数为x，则销售单价为3000﹣10（x﹣10）元，根据销售单价恰好为2500元，列方程求解；
（2）由利润y=（销售单价﹣成本单价）×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤60，x＞60三种情况列出函数关系式． 解答： 解：（1）设商家一次购买该种产品x件时，销售单价恰好为2500元， 依题意得3000﹣10（x﹣10）=2500， 解得x=60．
答：商家一次购买该种产品60件时，销售单价恰好为2500元； （2）当0≤x≤10时，y=（3000﹣2300）x=700x；
2
当10＜x≤60时，y=x[3000﹣10（x﹣10）﹣2300]=﹣10x+700x； 当x＞60时，y=（2500﹣2300）x=200x；
所以y=．
点评： 本题考查了二次函数的运用．关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AE=6，sin∠CFD=，求EB的长．
试卷第21页，总184页
考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）如图，欲证明EF与⊙O相切，只需证得OD⊥EF．
（2）通过解直角△AEF可以求得AF=10．设⊙O的半径为r，由平行线分线段成比例得到=，则易求AB=AC=2r=
，所以EB=AB﹣AE=
﹣6=．
=
，即
解答： （1）证明：如图，连接OD． ∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC． ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠B ∴∠ODC=∠B ∴OD∥AB
∴∠ODF=∠AEF ∵EF⊥AB
∴∠ODF=∠AEF=90° ∴OD⊥EF
∵OD是⊙O的半径， ∴EF与⊙O相切；
（2）解：由（1）知，OD∥AB，OD⊥EF． 在Rt△AEF中，sin∠CFD=则AF=10． ∵OD∥AB， ∴
=
．
=，AE=6，
设⊙O的半径为r， ∴解得，r=
=， ．
， ﹣6=．
∴AB=AC=2r=∴EB=AB﹣AE=
试卷第22页，总184页
点评： 本题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
24．如图，AB为⊙O的直径，AB=4，P为AB上一点，过点P作⊙O的弦CD，设∠BCD=m∠ACD． （1）已知
，求m的值，及∠BCD、∠ACD的度数各是多少？
，求弦CD的长；
（2）在（1）的条件下，且
（3）当理由．
时，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，求出m的值，如果不存在，说明
考点： 圆的综合题．
分析： （1）首先求出m的值，进而由∠BCD=2∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD求出即可； （2）根据已知得出AD，BD的长，再利用△APC∽△DPB得出AC?DP=AP?DB=×2PC?DP=AP?BP=×=
②，同理△CPB∽△APD，得出BC?DP=BP?AD=×2=
=
①，
③，进而得出AC，BC
与DP的关系，进而利用勾股定理得出DP的长，即可得出PC，DC的长； （3）由
，AB=4，则
，得出
，
要使CD最短，则CD⊥AB于P于是，
即可得出∠POD的度数，进而得出∠BCD，∠ACD的度数，即可得出m的值． 解答： 解：（1）如图1， 由
，
得 m=2，
试卷第23页，总184页
连结AD、BD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°
又∵∠BCD=2∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD ∴∠ACD=30°，∠BCD=60°；
（2）如图1，连结AD、BD，则∠ABD=∠ACD=30°，AB=4 ∴AD=2，， ∵∴
， ，
，
∵∠APC=∠DPB，∠ACD=∠ABD ∴△APC∽△DPB ∴
，
=②
①，
∴AC?DP=AP?DB=×2PC?DP=AP?BP=×=同理△CPB∽△APD ∴
，
∴BC?DP=BP?AD=×2=由①得
，由③得
③，
，
，
在△ABC中，AB=4， ∴∴由②得∴
方法二：由①÷③得
，
；
，
，
试卷第24页，总184页
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