2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版(IV)

2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版(IV) 【教学目标】

1. 了解直线和平面的位置关系(直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行). 2. 掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能灵活运用它们解题. 【知识梳理】

一、直线与平面的位置关系

位置关系 直线在平面内 图 示 a表示方法 a?? 公共点个数 无数个 直线与平面a∥? 直线不在平面内 直线与平面相交 二、直线和平面平行的判定方法：

①a∩α=ф?a∥α(定义法)； ②判定定理； ③b⊥a, b⊥α, a?a∥α； ④∥,a? ?a∥ ⑤空间向量怎么证线面平行？ 【点击双基】

1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是

A.α⊥β且m⊥β B.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥α D.α∥β且mβ 答案：D

2.（xx年北京，3）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

解析：①②显然正确.③中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交. 答案：A

3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是

直线与平面垂直 a没有 平行 α a直线与平面斜交 a??=A α一个 a?? α一个

A.异面 B.相交 解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β， 过直线a作与α、β都相交的平面γ， 记α∩γ=b，β∩γ=c， 则a∥b且a∥c， ∴b∥c.

又bα，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.

C.平行 D.不能确定

c?al?b? 答案：C

4.（文）设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，①当S在α、β之间时，SC=_____________，②当S不在α、β之间时，SC=_____________.

解析：∵AC∥BD，∴△SAC∽△SBD，①SC=16，②SC=272. 答案：①16 ②272

（理）设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=_____________.

解析：解法类同于上题. 答案：

5.在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.

A.MB.N DC解析：连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重

合为一点，且该点为CD的中点E，由==得MN∥AB，

因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD. 答案：平面ABC、平面ABD 【典例剖析】

例1. 如果平面?和这个平面外的一条直线l同时垂直于直线m，求证：l???.

证法一：设m??=A, 过A和直线l作平面?， 设???=a,∵m??, ∴m?a．

l和a的位置关系有相交和平行两种情况， m

l 若l和a相交，∵m?a，m?l，则m??．

?

又m??, 且?和?同过点A，

∴?和?重合．∵l??，∴l??，与已知l??矛盾．

? a A ∴l??a，又l??，a??，∴l???．

注：由m?a，m?l，不能直接推出l??a，∵尽管l和a同在平面?内，但m不一定在?内．“两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”，此结论只有当这三条直线都在同一平面内时才成立．

l证法二：在直线l上任取一点P，过P作直线n??m．

m P ?

n ? a

∵m??, m?l, ∴n??, ∴n?l． 过l和n作平面?，设???=a， ∵n??,∴n?a,又n?l,且l、a、n都在平面?内． ∴l??a, 又l??, a??, ∴l???．

注：此证法中，先将直线m平移到与直线l相交，然后再过两条相交直线作平面?，这样所得交线a、直线l以及直线n都在同一平面?内，且l和a都与直线n垂直，便可得l??a．将两条异面直线中的一条平移，得到两条相交直线，是对异面直线的常见处理方式，请同学们结合此例仔细体会证法二的妙处．

证法三：设a，b是平面内的一组基底，l、m分别是l、m上的一个非零向量， ∵m??，∴ma=mb=0，又m?l，∴m?l=0．

以a、b、m为空间基底，则存在实数x，y，z，使得l=xa+yb+zm． ∴m?l=m(xa+yb+zm)=xma+ymb+zm2=0+0+zm2=0．

2

∵m?0，∴z=0，则l=xa+yb，∴l与a、b共面． 又已知直线l不在平面内，∴l???．

变式一：若a∥,b⊥,则b⊥a。

变式二：a∥b, a∥, b ?b∥ A F 例2：如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面交于

D N AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。 M 证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，如图，连B Q

P 结PQ，∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ，又NQ=BN=CM=MP，∴MPQNE C

是平行四边形。∴MN∥PQ，又PQ?平面BCE，而MN平面BCE，∴MN∥平面BCE。

证法二：过M作MG∥BC，交AB于G（如图），连结NG，∵MG∥BC，BC?平面BCE，MG?平面BCE，∴MG∥平面BCE，又，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE，而MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE，MN?平面MNG，∴MN∥平面BCE。 证法三：

证法四： 例3：如图，设a,b是异面直线,AB是a,b的公垂线,过AB的中点O作平面α与a,b分别平行,M,N

分别是a,b上的任意两点,MN与α交于点P,求证P是MN的中点.

证明:连接AN,交平面α与点Q,连PQ,∵b∥α,b平面ABN,平面ABN∩α=OQ,∴b∥OQ，又

O为AB的中点，∴Q为AN的中点。∵a∥α，a平面AMN且平面AMN∩α=PQ，∴a∥PQ。∴P为MN的中点。

思维点拨：直线与平面的性质定理是解决本题的关键。

例4：直角三角形ABC的一条直角边AB＝A，另一条直角边BC不在平面内，若ABC在上的射影仍是直角，求证：BC

证明：如图，过B、C分别作α的垂线，垂足分别为B′、C′，则∠AB′C′是∠ABC在α上的射影.

∴∠AB′C′＝90°

又∵BB′⊥α，AB′α，B′C′α， ∴AB′⊥BB′，C′B′⊥BB′. ∵B′A∩BB′＝B′， ∴C′B′⊥平面AB′B. ∵B′C′∩B′B＝B′， ∴AB′⊥平面BB′C′C. ∵BC面BB′C′C， ∴BC⊥AB′.

∵∠ABC＝90°，AB∩AB′＝Ａ， ∴BC⊥平面ABB′. ∴BC∥B′C′. ∴BC∥α.

例5：如图，四面体A—BCD被一平面所截，截面EFGH是一个

A 矩形。

(1)求证：CD∥平面EFGH。(2)求异面直线AB，CD所成的角。(3)E 若AB＝a，CD=b，求截面EFGH面积的最大值。 H D F D B （1）证明：∵截面EFGH是一个矩形，∴EF∥GH， 又GH

G 平面BCD。∴EF∥面BCD，而EF面ACD，面ACD∩面BCD=CD。∴

C

EF∥CD，∴EF∥平面EFGH。

（2）解：由（1）知CD∥EF，同理AB∥FG，由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角。易得∠EFG=90。

（3）答案：ab/4

说明：欲证线面平行，先证线线平行，欲证线线平行，可先证线面平行，反复用直线与平面的判定、性质，在同一题中也经常用到。 【知识方法总结】

1. 直线与平面的位置关系有三种:线在面内, 线面平行, 线面相交. 后两种又可统称为“直线在平面外”；2. 在判定和证明直线与平面的位置关系时, 除熟练运用判定定理和性质定理外, 切不可丢弃定义, 因为定义既可作判定定理使用, 亦可作性质定理使用；3. 线面关系的判定和

证明, 要注意线线关系, 面面关系与它之间的相互转化. 【作业】

2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版

【教学目标】

正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题。 【知识梳理】

O

1．斜线长定理

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，

①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短． B A 2．重要公式

C D ? 如图，已知OB?平面?于B，OA是平面?的斜线，A为斜足，

直线AC?平面?，设?OAB=?1，又?CAB=?2，?OAC=?．那么

cos?=cos?1cos?2． 3．直线和平面所成的角

①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．

②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0的角．

4．三垂线定理和三垂线定理的逆定理 名称 语言表述 图 示 字母表示 应 用 ①证两直线垂直 ②作点线距 ③作二面角 的平面角 同 上 在平面内的一条直线,三垂线如果和这个平面的一条定 理 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 三垂线在平面内的一条直线,定理的如果和这个平面的一条逆定理 斜线垂直,那么它也和 P ? A P O a O a ? A 这条斜线的射影垂直. 重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”． 【点击双基】

1．下列命题中，正确的是 ( ) (A)垂直于同一条直线的两条直线平行 (B)平行于同一平面的两条直线平行

(C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线

(D)a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是两条相交直线，则a、b也是相交直线 2．直线a、b在平面?内的射影分别为直线a1、b1，下列命题正确的是 ( ) (A)若a1?b1，则a?b (B)若a?b，则a1?b1