?MVcos??M?m?（2）代入（1）得vy?Vsin?......(3) ?..........?mU??Vcos??M?m?vx?所以
?M?2?M?222222222v?vx?vy???Vcos??Vsin????Vcos??V(1?cos?)?M?m??M?m??V1?m(2M?m)cos2?............(4)2(M?m)vyvx?Vsin?M?m?tan?..........(5)
MMcos?M?m22如设v与水平面夹角为?，则tan??讨论：由（4）式知炮车反冲时v?V，由（5）式知??? 重G的物体A带动单位长度的质量为q的软链，以速度足够的长度，求重物所能达到的最大高度。
向上抛出，如图示。假定软链有
解：取OZ轴铅直向上，O点位于地面。将在空中运动的链条的物体A视为主体。则并入主
?体的质量元（原先静止于地面）的绝对速度u?0 于是密歇尔斯基方程为
?d??mz?F????1?
dt?????d???????G?qg?g 因m?G?qz,F??G?qz?g?k,z?zk，代入（1）式得??G?qz?zdt????d??G?qz?z????g?G?qz?dz 用?G?qg?dz乘上式两端得??G?qz?z2已知初始条件为
z?0时，
??v0z 所以积分上式得
1g1g?2???G?qz?3?G2v02?G3 当z??0时，?G?qz?2z上升高度z正好就是最大
23q23q2?3qv0G??31?值h 即h??1?
?q?2Gg??在椭圆机构中，规尺AB质量为2m1，曲柄OC质量为m1,滑块A和B质量均为m2曲柄以匀角速度ω绕轴O转动。试求机构质心的运动方程及系统动量。设各物体为均质，OC=AC=BC=l。
解法1:运动方程（C点）的运动为平面运动 运动方程为：x?lcos?t,y?lsin?t,
消去t得：x?y?l
222???????p?poc?pAB?pA?pB?m1voc?(2m1?2m2)vAB?l???l?m1(??sin?ti??cos?tj)?(2m1?2m2)(?l?sin?ti?l?cos?tj)22动量 ?5???5??m1l?sin?ti?m1l?cos?tj?2m2l?cos?tj?2m2l?sin?ti22?l??l???(5m1?4m2)sin?ti?(5m1?4m2)cos?tj22总动量值的合成:p?px2?py?2l?(5m1?4m2) 2解法2:首先建立整个系统的质心位置
l(m1?cos?t?2m1lcos?t?2m2lcos?t)2xc?(3m1?2m2)l(m1?sin?t?2m1lsin?t?2m2lsin?t)2yc?(3m1?2m2)
?c??px?mx将质心位置求导后,代入动量式
l?sin?t(5m1?4m2)2?c?py?myl?cos?t(5m1?4m2)2
l?(5m1?4m2) 2?????某质量为m的质点，其运动方程用矢量式可表达为r(t)?x(t)i?y(t)j?z(t)k ，式中：r总动量值的合成:p?px2?py?2???为质点的矢径，i,j,k分别为x,y,z的单位矢。试求：
（1） 质点的动能、动量及对坐标原点O的动量矩。 （2） 质点对点A（a,b,c）的动量矩。 （3） 作用在质点上的力及力的功率。
121?2?y?2?z?2) mv?m(x22??????i?y?j?z?k) 动量p?mv?m(x解：（1）动能T??????)i?(zx??xz??yx?)k ??zy?)j?(xy 动量矩LO?m(yz??（4） 动量矩
??????i??(z?c)x??(x?a)z??(y?b)x??k ??(z?c)y??j??(x?a)yLA?m?(y?b)z???????????i???j???k) xyz（5） 力F?ma?mr?m(?????????m???m(x?????y?????z????) P?F?v?F?rr??rxyz功率
29、质点在xoy平面内运动，其势能为：V?2x?5xy?3y?6x?7y 试求使该质点处于平衡状态的点的坐标。
解：欲使质点平衡须使质点势能对任一函数的一阶偏微分为零即
22?V?V?0,?0 ?x?y?V?4x2?5x?6?0.........(1)?x由 ?V??5x?6y?7?0.........(2)?y求解上面方程组得平衡坐标为x=1,y=2
一人在水平台上走动，此台可通过其中心的铅直轴而旋转，人走的轨迹是以平台中心为圆心，r为半径的圆周，假定人重为p，平台重也为p，其半径也为r，试求当人在平台上走完一周时平台转过的角度。
解：以作平台为质点系，受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。假设平台与转轴接触面光滑无摩擦，故质点系动量矩守恒。
?在质点系起始时，t?0,G0?0 在某时刻人相对于平台的速度为u，平台的角速度为?，则人的绝
对速度为v?u??r 人的动量矩为：G1?pr(u??r) 方向沿转轴方向。 g平台动量矩为：G2?I??1p2r? 方向也沿转轴方向。 2gpp22ur(u??r)?r??0 ???? g2g3r由动量矩守恒定律得：G1?G2?又
??
?2?rd?dsd?2ds22 d???ds积分得：?d????,u? 即 ??ds
00dtdtdt3rdt3r3r故???4? 332、一均质木板放在光滑的水平面上，板的一端站着一个人。在某一时刻，人以不变的速度u向x轴正向运动。设板的质量为m1，人的质量为m2。试求t秒钟后，人的绝对速度v与位移以及板的绝对速度v1与位移。
解：以人和板为研究对象。系统受力：人的重力P，板的重力W，光滑的水平面对板的正压力FN。以上受力均在竖直方向，所以水平方向受力为零，则动量守恒。
在初始时刻t=0，人和板都静止，动量pax=0，任意时刻t，设板的绝对速度v1沿x轴正向，则由点的合成运动可知，人的绝对速度为v=v1+u。 由动量守恒定律得：m1v1+m2(v1+u)=0 解此方程得 v1??m2u 负号表示板的运动方向与x轴正向相反。
m2?m1m2m1u?u 正号表示人的运动方向与x轴正向相同
m2?m1m1?m2m1m2ut,?x1?v1t??ut
m1?m2m1?m2由此得人的绝对速度为v?v1?u?u?因u与v都是常量，故人和板的位移分别为?x?vt?设矢量r在笛卡儿坐标系中的投影为?x,y,z?，证明divr?3,rotr?0并求使r?grad?的函数?
??????x?y?z????????????解：（1）divr???r???i?x?j?y?k?z???xi?yj?zk??x??y??z?3
?????ijk???????z?y????x?z????y?x??rotr???r?????i????j????k?0 （2）?????x?y?z??y?z???z?x???x?y?xyz??
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