∵AD为⊙O的直径， ∴∠DAC＝90°， ∴∠D+∠DCA＝90°， ∵∠DCA+∠ACB＝90°， ∴∠D＝∠ACB，
又∵∠DAC＝∠ABC＝90°， ∴△DCA∽△CAB， ∴
＝
，
设AC＝a，则AB＝a﹣1， ∵⊙O的半径为4， ∴CD＝8， ∴＝
，
，a2＝4﹣2
；
，
解得，a1＝4+2∴AC＝4+2
或4﹣2
（3）由（2）知，则＝
，
＝，
∴AB＝a2， ∴AC﹣AB＝a﹣a2 ＝﹣（a﹣4）2+2，
根据二次函数的性质可知，当a＝4时，AC﹣AB取最大值2，
如图3，当AC＝A'C＝4时，AB＝2，连接OA，OA'，
则△A'CO与△ACO是等边三角形， ∴∠A'CO＝∠ACO＝60°， 在Rt△ACB中，AC＝4，AB＝2， ∴∠ACB＝30°， ∴A'CB＝150°，
∴α的度数为30°或150°．
【点评】本题考查了切线的性质定理，相似三角形的性质，用函数思想求最大值等，解题关键是要会灵活运用函数思想求极值．
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