误差理论与数据处理（费业泰）最全课后答案

?V?V?V?V??()2?a2?()2?b2?()2?c2?a?b?c??(b?c)2?a2?(a?c)2?b2?(a?b)2?c2??498.42?0.82?1809.922?0.52?7191.22?0.52??3729.11mm3

所以，立方体的体积是77795.696mm3，体积的极限误差是?3729.11mm3。

6，测量的标准差分别为3-4 测量某电路的电流I?22.5mA，电压U?12.V?I?0.5mA,?U?0.1V，求所耗功率P?UI及其标准差?p。

解：先求所耗功率：

P?UI?12.6?22.5?10?3?0.2835W

因为，

?P?I?22.5?10?3?U

?P?U?12.6?I且U，I完全线形相关，故??1， 所以，

?P22?P22?P?P)?u?()?I?2??????u??I?U?I?U?I?p?(?(22.5?10?3)2?0.12?12.62?(0.5?10?3)2?2?1?22.5?10?3?12.6?0.1?0.5?10?3?5.0625?10?6?39.69?10?6?28.35?10?6?73.1025?10?6?8.55?10?3W

所以，该电路所耗功率为0.2835W，其标准差为8.55?10?3W。 3-6 已知x与y的相关系数?xy??1，试求u?x2?ay的方差?u2。 解：因为

?u?u?2x,?a ?x?y?xy??1

所以，

?u2?(?u22?u22?u?u)?x?()?y?2??xy????x??y?x?y?x?y?4x2?x2?a?y2?2?(?1)?2x?a??x??y?4x2?x2?a?y2??4xa?x?y?(2x?x?a?y)2

所以，u?x2?ay的方差?u2为(2x?x?a?y)2

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3-8 如图3-6所示，用双球法测量孔的直径D，其钢球直径分别为d1,d2，测出的距离分别

为H1，H2，试求被测孔径D与各直接测量量的函数关系D?f(d1,d2,H1,H2)及其误差传递函数。

解：如图所示， 图3-6

由勾股定理得

d?d22d?d22d?1d22 (1)?(D?1)?(H1?H2?)

222(D?即，

D?d1?d22d?d22d?d22)?(1)?(H1?H2?1) 222d1?d2d?d22d?d22?(1)?(H1?H2?1)222

d1?d2d?d2d?d2d1?d2d?d2?(1?H1?H2?1)(?H1?H2?1) 22222d?d2?1?(d1?H1?H2)(d2?H1?H2)2?然后对d1，d2，H1,H2分别求偏导，即得出误差传递系数。

3-10 假定从支点到重心的长度为L的单摆振动周期为T，重力加速度可由公式T?2?Lg给出。若要求测量g的相对标准差相对标准差应该是多少？ 解：由重力加速度公式，T?2??gg?0.1%，试问按等作用原则分配误差时，测量L和T的

L得， g4?2L4?2LT? g?

gT22?g4?2?g8?2L因为，? ??3

?LT2?TT因为测量项目有两个，所以n?2。按等作用原理分配误差，得

4?2L?g1?gT2?gg?gL1?g?L?????L 22n?g24?24?2g2g?L?L1?g1???0.1%?0.07072% L2g2同理,

10

4?2L?T?g1?gT3?gT2?T?gg?gT1?g?T???????????T222n?g28?L28?L28?L22g22g?T|

?TT|?1?g1??0.1%?0.03536%

22g22综上所述，测量L和T的相对标准差分别是0.07072%和0.03536%。 第第五章：最小二乘法原理

理知识点：

? 1.最小二乘法原理 ? 2.正规方程

? 3.两种参数估计的方法 ? 4.精度估计

? 推荐掌握：基于矩阵的的最小二乘法参数估计 参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及回顾： 由误差方程 V?L?AX

T

且要求VV最小，则： VTV?(L?AX)T(L?AX) ?(LT?XTAT)(L?AX)

?LTL?LTAX?XTATL?XTATAX

令其等于f(X),要f(X)最小，需其对应偏导为0：

df(X)??LTA?LTA?(ATAX)T?XTATA?0 dXLTA?XTATA, ATL?ATAX

所以：

X?(ATA)?1ATL

理论基础：

ddf(X)=[f(X)]T TdXdXddd[f(X)g(X)]=g(X)[f(X)]?f(X)[g(X)] dXdXdX

5-1 由测量方程

3x?y?2. 9 x?2y?0. 9 2x?3y?1. 9试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。 解：方法一（常规）：

1.列出误差方程组：

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v1?2.9?(3x?2y)??v2?0.9?(x?2y)? v3?1.9?(2x?3y)???V＝(2.9?(3x?y))2ii＝132?(0.9?(x?2y))2?(1.9?(2x?3y))2

分别对x，y求偏导，并令它们的结果为0，

2((3x?y)?2.9)?3?2((x?2y)?0.9)?2((2x?3y)?1.9)?2?0 2((3x?y)?2.9)?2((x?2y)?0.9)?2?2((2x?3y)?1.9)?3?0即，

14x?5y?13.4??

?5x?14y??4.6?

由上式可解得结果：

x?0.9626 y?0.0152

2. 直接列表计算给出正规方程常数项和系数

i ai1 ai2 ai21 9 1 4 14 ai22 1 4 9 14 ai1ai2 li ai1li ai2li 1 2 3 ? 可得正规方程 3 1 2 --- 1 -2 -3 --- 3 -2 -6 -5 2.9 0.9 1.9 --- 8.7 0.9 3.8 13.4 2.9 -1.8 -5.7 -4.6 14x?5y?13.4??

?5x?14y??4.6?将x，y的结果代入分别求得：

v1?2.9?(3?0.9626＋0.0152)＝?0.003??v2?0.9?(0.9626?2?0.0152)＝?0.0322?得， v3?1.9?(2?0.9626－3?0.0152)＝0.0204???vi?132i?v12?v22?v32?(?0.003)2?(?0.0322)2?(0.0204)2

?0.00146由题已知，n?3，t?2得

1.46?10?3????0.0382得，

n?t3?2由不定乘数的方程组

1?v32i14d11?5d12?1?14d21?5d22?0? ??

?5d11?14d12?0??5d21?14d22?1? 12