2021新高考数学(江苏专用)一轮复习课时练习：4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 (含解析)

5

1．若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α的值等于( )

13121255A. B．－ C. D．－ 551212答案 C

5

解析 因为sin α＝－，且α为第三象限角，

13125

所以cos α＝－，所以tan α＝. 1312

8

2．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于( )

15151588A. B．－ C. D．－ 17171717答案 D

8sin α8解析 因为tan α＝－，所以＝－，

15cos α1515

所以cos α＝－sin α，

8

64

代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝，

2898

又α是第四象限角，所以sin α＝－.

17

3．已知cos 31°＝a，则sin 239°·tan 149°的值为( ) 1－a2A.

aa2－1C.

a答案 B

解析 sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a2.

π3π?π3

，，则sin?α＋?等于( ) 4．已知tan(α－π)＝，且α∈??22??2?44433

A. B．－ C. D．－ 5555答案 B

B.1－a2 D．－1－a2

33

解析 由tan(α－π)＝?tan α＝. 44

π3π?

又因为α∈??2，2?，所以α为第三象限角， π4

α＋?＝cos α＝－. sin??2?5

15．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋等于( )

tan αA．2 B.12 C．－2 D．－1

2

答案 A

解析 由已知得1＋2sin αcos α＝2， ∴sin αcos α＝1

2

，

∴tan α＋1sin αcos α

tan α＝cos α＋sin α ＝sin2α＋cos2αsin αcos α＝11

＝2.

26．(2019·沧州七校联考)已知

sin α＋3cos α

3cos α－sin α

＝5，则sin2α－sin αcos α的值是( A.25 B．－2

5 C．－2 D．2 答案 A

解析 由sin α＋3cos αtan α3cos α－sin α＝5，得＋33－tan α＝5，

即tan α＝2.

所以sin2α－sin αcos α

＝sin2α－sin αcos αtan2α－tan αsin2α＋cos2α＝tan2α＋1

＝2

5.

7．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( ) A．sin(－x)＝sin x B．sin?3π?2－x?

?＝cos x C．cos?π?2＋x?

?＝－sin x D．cos(x－π)＝－cos x

答案 CD

解析 sin(－x)＝－sin x，故A不成立； sin?3π?2－x??＝－cos x，故B不成立； cos?π?2＋x??＝－sin x，故C成立；

)

cos(x－π)＝－cos x，故D成立．

4

8．(多选)若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )

54

A．tan α＝ 38

C．sin α＋cos α＝

5答案 AB

4

解析 ∵sin α＝，且α为锐角，

5∴cos α＝1－sin2α＝

4?231－??5?＝5，故B正确，

3

B．cos α＝ 51

D．sin α－cos α＝－

5

4sin α54

∴tan α＝＝＝，故A正确，

cos α33

54378

∴sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误，

55554311

∴sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误．

55554π4π5π

－?的值是 ． 9．sin ·cos ·tan??3?3633答案 － 4

π?π－π?·?－π－π? π＋?·解析 原式＝sin?costan3??3??6??π?π?π

－sin ?·－cos ?·－tan ? ＝?3??6??3??＝?－?

333??3

×－?×(－3)＝－. 42??2?

3πsin α－4cos α

＋α?，则10．(2019·沧州七校联考)已知sin(3π＋α)＝2sin?＝ ；sin2α＋?2?5sin α＋2cos αsin 2α＝ . 18

答案 －

65

3π?

解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin??2＋α?， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α. sin α－4cos α2cos α－4cos α－21

＝＝＝－.

65sin α＋2cos α10cos α＋2cos α12∵sin α＝2cos α，∴tan α＝2，

sin2α＋2sin αcos αtan2α＋2tan α4＋48

∴sinα＋sin 2α＝＝＝＝.

sin2α＋cos2αtan2α＋14＋15

2

3ππ?11．已知－<α<0，且函数f (α)＝cos??2＋α?－sin α·2(1)化简f (α)；

1

(2)若f (α)＝，求sin αcos α和sin α－cos α的值．

5解 (1)f (α)＝sin α－sin α·1＋cos α

－1.

1－cos α

?1＋cos α?21＋cos α

－1＝sin α＋sin α·－1＝sin α＋cos α.

sin α1－cos2α

11

(2)方法一 由f (α)＝sin α＋cos α＝，平方可得sin2α＋2sin α·cos α＋cos2α＝，即2sin α·cos α

52524

＝－. 25

12

∴sin α·cos α＝－. 25

π

又－<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，

249

∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝，

257

∴sin α－cos α＝－.

5

1??sin α＋cos α＝5，方法二 联立方程?解得

??sin2α＋cos2α＝1，

?sin α＝－5，?4cos α＝?5

3

?sin α＝5，或?3

cos α＝－.?5

4

π

∵－<α<0，∴

2

??4cos α＝，?5

3sin α＝－，5

127

∴sin αcos α＝－，sin α－cos α＝－. 255

sin?kπ－α?cos[(k－1)π－α]

12．已知k∈Z，化简：.

sin[(k＋1)π＋α]cos?kπ＋α?解 当k＝2n(n∈Z)时，

sin?2nπ－α?cos[?2n－1?π－α]原式＝ sin[?2n＋1?π＋α]cos?2nπ＋α?＝

sin?－α?·cos?－π－α?－sin α?－cos α?

＝＝－1；

sin?π＋α?·cos α－sin α·cos α