2020人教A版数学必修二 2.1.3、2.1.4

第二章 2.1 2.1.3 2.1.4

A级 基础巩固

一、选择题

1．正方体的六个面中相互平行的平面有( B ) A．2对 C．4对

B．3对 D．5对

[解析] 正方体的六个面中有3对相互平行的平面．

2．三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是( A )

A．相交 B．平行 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内

[解析] 由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．

3．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是( D ) A．平行 C．异面

B．相交

D．以上都有可能

[解析] 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥平面AC，A1D1∥平面AC，有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面AC，有A1B1∥D1C1；取BB1和CC1的中点M、N，则MN∥B1C1，则MN∥平面AC，有A1B1与MN异面，故选D.

4．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( D ) A．唯一一条直线不相交 B．仅两条相交直线不相交 C．仅与一组平行直线不相交

D．任意一条直线都不相交

[解析] 根据直线和平面平行定义，易知排除A、B.对于C，仅有一组平行线不相交，不正确，应排除C.与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，∴D正确．

5．平面α∥平面β，直线a∥α，则( D ) A．a∥β C．a与β相交

B．a在面β上 D．a∥β或a?β

[解析] 如图(1)满足a∥α，α∥β，此时a∥β； 如图(2)满足a∥α，α∥β，此时a?β，故选D.

6．设P是异面直线a，b外一点，则过P与a，b都平行的直线有________条( C ) A．1 C．0

B．2 D．0或1

[解析] 反证法．若存在直线c∥a，且c∥b，则a∥b与a，b异面矛盾．故选C. 二、填空题

7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中判断下列位置关系：

(1)AD1所在的直线与平面BCC1的位置关系是_平行_； (2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是_相交_. 8．两个不重合的平面可以把空间分成_三或四_部分．

[解析] 两平面平行时，把空间分成三部分．两平面相交时，把空间分成四部分． 三、解答题

9．如图所示，直线A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？平面A′ABB′与长方体ABCD－A′B′C′D′的其余五个面的位置关系如何？

[解析] ∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点， ∴直线A′B在平面ABB′A′内．

∵直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′都有且只有一个公共点B， ∴直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′相交．

∵直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′， ∴直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′相交． ∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点， ∴直线A′B与平面DCC′D′平行． 平面A′B∥平面CD′，

平面A′ABB′与平面AD′、平面BC′、平面AC平面A′C′都相交．

10．如图所示，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A?l，B?l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．

[解析] 平面ABC与平面β的交线与l相交． 证明：∵AB与l不平行，且AB?α，l?α， ∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P， 则P∈AB，P∈l.

又∵AB?平面ABC，l?β， ∴P∈平面ABC，P∈β.

∴点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，且P，C是不同的两点，

∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线． 即平面ABC∩平面β＝PC，而PC∩l＝P， ∴平面ABC与平面β的交线与l相交．

B级 素养提升

一、选择题

1．直线a在平面γ外，则( D ) A．a∥γ C．a∩γ＝A

B．a与γ至少有一个公共点 D．a与γ至多有一个公共点

[解析] 直线α在平面γ外，包括两种情况，一种是平行，另一种相交，故选D. 2．若平面α∥平面β，则( A ) A．平面α内任一条直线与平面β平行

B．平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行 C．平面α内存在一条直线与平面β不平行

D．平面α内一条直线与平面β内一条直线有可能相交

3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( C ) A．5部分 C．7部分

B．6部分 D．8部分

[解析] 垂直于交线的截面如图，把空间分成7部分，故选C.

4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( C ) A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行

[解析] 若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，从而a∥b，与a，b异面矛盾，故c至少与a，b中的一条相交．

二、填空题

5．下列结论正确的有_①⑤__.

①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内； ②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；

④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交； ⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面； ⑥若平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，则直线a∥b.

[解析] ①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以②是错误的；③中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误的；④中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以④是错误的；⑤中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线没有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确的；⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑥是错误的．

6．将一个长方体的四个侧面和两个底面延展成平面后，可将空间分成_27_部分． 7．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则下列说法正确的是_①__(填序号)． ①若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交； ②若平面α和平面β相交，则直线a和直线b相交．

[解析] 若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．

三、解答题

8．已知三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c?β，c∥b.

(1)判断c与α的位置关系，并说明理由； (2)判断c与a的位置关系，并说明理由．

[解析] (1)c∥α，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又c?β，所以c与α无公共点，所以c∥α.

(2)c∥a，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a?α，b?β，且a、b?γ，所以a、b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b.又c∥b，所以c∥a.

9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．

[解析] 如图，取AB的中点F，连接EF、A1B、CF.

∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形． ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1. ∴E、F、C、D1四点共面．

∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE， F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE， ∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.

∴过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.