数学试卷
则有0≤CF＜CQ． ∵CF=6﹣6t，CQ=3t， ∴0≤6﹣6t＜3t． ∴＜t≤1．
此时QF=CQ﹣CF=3t﹣（6﹣6t）=9t﹣6． ③当点F在线段BC的延长线上时，如图3，
则有AA′＞AC，且AP＜AB． ∴8t＞8，且5t＜10． ∴1＜t＜2．
同理可得：CF=6t﹣6．
此时QF=QC+CF=3t+6t﹣6=9t﹣6．
综上所述：当0＜t≤时，QF=6﹣9t；当＜t＜2时，QF=9t﹣6．
（3）①当0＜t≤时，
过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图4，
则有A′M=CQ=3t．
数学试卷
∵∴
==
，
=，==，
∵∠PBQ=∠ABC， ∴△BPQ∽△BAC． ∴∠BQP=∠BCA． ∴PQ∥AC． ∵AP∥A′G．
∴四边形APGA′是平行四边形． ∴PG=AA′=8t． ∴S=S△A′PG=PG?A′M =×8t×3t=12t． ②当＜t≤1时，
过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图5，
2
则有A′M=QC=3t，PQ=DC=8﹣4t，PG=AA′=8t，QG=PG﹣PQ=12t﹣8，QF=9t﹣6．． ∴S=S△A′PG﹣S△GQF =PG?A′M﹣QG?QF
=×8t×3t﹣×（12t﹣8）×（9t﹣6） =﹣42t+72t﹣24．
③当1＜t＜2时，如图6，
2
∵PQ∥AC，PA=PA′
数学试卷
∴∠BPQ=∠PAA′，∠QPA′=∠PA′A，∠PAA′=∠PA′A． ∴∠BPQ=∠QPA′． ∵∠PQB=∠PQS=90°， ∴∠PBQ=∠PSQ． ∴PB=PS． ∴BQ=SQ． ∴SQ=6﹣3t．
∴S=S△PQS=PQ?QS=×（8﹣4t）×（6﹣3t）=6t﹣24t+24．
综上所述：当0＜t≤时，S=12t；当＜t≤1时，S=﹣42t+72t﹣24：当1＜t＜2时，S=6t﹣24t+24．
（4）①若S△A′PG：S四边形PBEG=1：3，
过点A′作A′M⊥PG，垂足为M，过点A′作A′T⊥PB，垂足为T，如图7，
2
2
2
2
则有A′M=PD=QC=3t，PG=AA′=8t． ∴S△A′PG=×8t×3t=12t． ∵S△APA′=AP?A′T=AA′?PD， ∴A′T=
=
=
t．
t=24t（2﹣t）．
2
∴S?PBEA′=PB?A′T=（10﹣5t）×∵S△A′PG：S四边形PBEG=1：3， ∴S△A′PG=×S?PBEA′． ∴12t=×24t（2﹣t）． ∵t＞0， ∴t=．
2
②若S△BPN：S四边形PNEA′=1：3，如图8，
数学试卷
同理可得：∠BPQ=∠A′PQ，BQ=6﹣3t，PQ=8﹣4t，S?PBEA′=24t（2﹣t）． ∵四边形PBEA′是平行四边形， ∴BE∥PA′．
∴∠BNP=∠NPA′． ∴∠BPN=∠BNP． ∴BP=BN．
∵∠BQP=∠BQN=90°， ∴PQ=NQ．
∴S△BPN=PN?BQ=PQ?BQ =（8﹣4t）×（6﹣3t）． ∵S△BPN：S四边形PNEA′=1：3， ∴S△BPN=×S?PBEA′．
∴（8﹣4t）×（6﹣3t）=×24t（2﹣t）． ∵t＜2， ∴t=．
综上所述：当射线PQ将?A′PBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时，t的值为秒或秒．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解一元一次不等式组、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的思想，有一定的综合性．
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