专题07导数的应用
考纲解读明方向 考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度 了解函数单调性和导数的关系;能利用导数选择题 ★★★ 研究函数的单调性,会求函数的单调区间理解 解答题 (其中多项式函数一般不超过三次) 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值2.导数与函数的极 (其中多项式函数一般不超过三次);会求闭掌握 解答题 ★★★ (最)值 区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3.生活中的优化问会利用导数解决某些实际问题 掌握 选择题 ★☆☆ 题 分析解读
1.会利用导数研究函数的单调性,掌握求函数单调区间的方法.
2.掌握求函数极值与最值的方法,解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问题. 3.利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点.分值为12~17分,属于高档题.
1.导数与函数的 单调性
命题探究练扩展
2018年高考全景展示 1．【2018年理数天津卷】已知函数（I）求函数（II）若曲线
在点
，
，其中a>1.
的单调区间；
处的切线与曲线
在点
处的切线平行，证明
；
（III）证明当
时，存在直线l，使l是曲线
，单调递增区间为
的切线，也是曲线
的切线.
【答案】(Ⅰ)单调递减区间；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.
（III）由题意可得两条切线方程分别为l1：等价于当
时，存在
，
.l2：
，使得l1和l2重合.转化为当
.则原问题
时，关于x1的方程
，结合，则题中的
存在实数解，构造函数，令
函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得结论成立.
详解：（I）由已知，令
，解得x=0.
， 的变化情况如下表：
0 + ，有
.
，据此可证得存在实数t，使得
由a>1，可知当x变化时，x 0 所以函数
极小值 的单调递减区间，单调递增区间为.
（III）曲线
在点
处的切线l1：
.
曲线在点
处的切线l2：
.
要证明当只需证明当
时，存在直线l，使l是曲线时，存在
，
的切线，也是曲线
，使得l1和l2重合.
的切线，
即只需证明当时，方程组有解，
由①得
因此，只需证明当设函数
，代入②，得
时，关于x1的方程③存在实数解.
，即要证明当
，可知
时，
；
. ③
时，函数存在零点.
时，单调递减，又
，即
，
.
上单调递减.
，
故存在唯一的x0，且x0>0，使得由此可得
在
上单调递增，在
在处取得极大值.因为，故，
所以
下面证明存在实数t，使得有
，因此，当
所以，当
时，存在
，使得
.
的切线.
.由（I）可得
，当
时，
.
，所以存在实数t，使得
时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 2．【2018年理北京卷】设函数（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，（Ⅱ）若
=[
]．
）处的切线与轴平行，求a；
在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
【答案】(1) a的值为1 (2) a的取值范围是（，+∞） 【解析】分析：（1）先求导数，再根据满足
得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否
在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．
=[
]，
详解：解：（Ⅰ）因为
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex． f ′(1)=(1–a)e．由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1． 此时f (1)=3e≠0．所以a的值为1．
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