三年高考(2017-2019)文数真题分项版解析——专题13 不等式、推理与证明(解析版)

专题13 不等式、推理与证明

1．【2019年高考全国I卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

5?15?1≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的（

225?1．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为2头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是

A．165 cm C．185 cm 【答案】B

B．175 cm D．190 cm

【解析】方法一：如下图所示. 依题意可知：

AC5?1AB5?1?,?， CD2BC2① 腿长为105 cm得，即CD>105，

AC?5?1CD?64.89， 2AD?AC?CD?64.89?105?169.89，

所以AD>169.89.

②头顶至脖子下端长度为26 cm， 即AB<26，

BC?AB?42.07， 5?12

AC=AB+BC<68.07，

CD?AC?110.15， 5?12AC+CD<68.07+110.15=178.22，

所以AD<178.22.

综上，169.89

故选B.

方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则

2626?x5?1，得??xy?1052x?42.07cm,y?5.15cm．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为

42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．

【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．

2．【2019年高考全国III卷文数】记不等式组??x?y?6,表示的平面区域为D．命题

?2x?y?0p:?(x,y?)D,2x?①p?q

y?；命题q:?(x,y)?D,2x?y?12．下面给出了四个命题

②?p?q

③p??q

④?p??q

这四个命题中，所有真命题的编号是 A．①③ C．②③ 【答案】A

B．①② D．③④

【解析】根据题中的不等式组可作出可行域，如图中阴影部分所示， 记直线l1: y??2x+9,l2: y=?2x+12，

9,?(x,y)?D,2x?y?12， 由图可知，?(x,y)?D,2x?y…所以p为真命题，q为假命题， 所以?p为假命题，?q为真命题，

所以p?q为真命题，?p?q为假命题，p??q为真命题，?p??q为假命题， 所以所有真命题的编号是①③.故选A.

【名师点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断.

3．【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2?m1=

5E1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是?26.7，天狼星E22的星等是?1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A． 1010.1 C． lg10.1 【答案】A

【解析】两颗星的星等与亮度满足m2?m1?

B． 10.1 D． 10–10.1

5E1lg,令m2??1.45,m1??26.7, 2E2lgE12E2???m2?m1??(?1.45?26.7)?10.1,1?1010.1. E255E2

故选：A．

【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识?信息处理能力?阅读理解能力以及指数对数运算.

?x?y?2?0,?x?y?2?0,?4．【2019年高考天津卷文数】设变量x,y满足约束条件?，则目标函数z??4x?y的最大值

x…?1,???y…?1,为 A．2 C．5 【答案】D

【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线y?4x?z在y轴上的截距， 故目标函数在点A处取得最大值.

B．3 D．6

?x?y?2?0,由?，得A(?1,1)， ?x??1所以zmax??4?(?1)?1?5. 故选C.

【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距

离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求． 5．【2019年高考天津卷文数】设x?R，则“0?x?5”是“|x?1|?1”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】x?1?1等价于0?x?2，故0?x?5推不出x?1?1； 由x?1?1能推出0?x?5，

故“0?x?5”是“|x?1|?1”的必要不充分条件. 故选B.

【名师点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p?q，q?p进行判断；

(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．

?x?3y?4?0?6．【2019年高考浙江卷】若实数x,y满足约束条件?3x?y?4?0，则z?3x?2y的最大值是

?x?y?0?A． ?1 C． 10 【答案】C

【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示. 因为z?3x?2y，所以y??平移直线y??B． 1 D． 12

31x?z. 2231x?z可知，当该直线经过点A时，z取得最大值. 22?x?3y?4?0?x?2. ，解得?3x?y?4?0y?2??联立两直线方程可得?即点A坐标为A(2,2)，