提分专练07
二次函数简单综合问题
|类型1| 二次函数与方程(不等式)的综合
1.[2019·荆门]抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为 ( ) A.0
B.1
C.2
D.3
[答案] C
[解析]当x=0时，y=-x2+4x-4=-4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，-4)， 当y=0时，-x2+4x-4=0，解得x1=x2=2，抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)， 所以抛物线与坐标轴有2个交点.故选C.
2.[2019·泸州]已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点，且当x<-1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ( ) A.a<2 [答案] D
[解析]y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6，
∵抛物线与x轴没有公共点，∴Δ=(-2a)2-4(a2-3a+6)<0，解得a<2. ∵抛物线的对称轴为直线x=--2??2
B.a>-1 C.-1 =a，抛物线开口向上， 而当x<-1时，y随x的增大而减小， ∴a≥-1，∴实数a的取值范围是-1≤a<2.故选D. 3.[2018·南京] 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； (2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方? 解：(1)证明：当y=0时，2(x-1)(x-m-3)=0，解得x1=1，x2=m+3. 当m+3=1，即m=-2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠-2时，方程有两个不相等的实数根.所以，不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点. (2)当x=0时，y=2m+6，即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6. 当2m+6>0，即m>-3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方. |类型2| 二次函数与直线的综合 4.[2018·孝感] 如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2，4)，B(1，1)，则方程ax2=bx+c的解是 x1=-2，x2=1 . [解析]∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2，4)，B(1，1)，∴??1=-2，??2=1，??=????2，{的解为{{即方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1. ??=????+????1=4，??2=1. 5.[2019·北京] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-??与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上. (1)求点B的坐标(用含a的式子表示)； (2)求抛物线的对称轴； (3)已知点P(2，-??)，Q(2，2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围. 解：(1)∵抛物线与y轴交于点A，∴令x=0，得y=-??， ∴点A的坐标为(0，-). ??1 1 1 1 1 ∵点A向右平移2个单位长度，得到点B， ∴点B的坐标为(2，-??). (2)∵抛物线过点A(0，-)和点B(2，-)，由对称性可得，抛物线对称轴为直线x= ?? ?? 1 1 0+22 1 =1. (3)根据题意可知，抛物线y=ax2+bx-??经过点A(0，-??)，B(2，-??). ①当a>0时，则-??<0， 分析图象可得：点P(2，-??)在对称轴左侧，抛物线上方，点Q(2，2)在对称轴右侧，抛物线上方，此时线段PQ与抛物线没有交点. ②当a<0时，则-??>0. 1 1 1 1 111 分析图象可得：当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时-??≤2，即a≤-2. 综上所述，当a≤-时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点. 21 1 1 |类型3| 二次函数的最值问题 6某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，当每件的定价为多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大. 解：设每件的定价为x元，每天的销售利润为y元. 根据题意，得y=(x-15)[8+2(25-x)]=-2x2+88x-870. ∴y=-2x2+88x-870=-2(x-22)2+98. ∵a=-2<0， ∴抛物线开口向下， ∴当x=22时，y最大值=98. 7.[2019·台州] 已知函数y=x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点(-2，4). (1)求b，c满足的关系式； (2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式； (3)若该函数的图象不经过第三象限，当-5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值. 解：(1)将(-2，4)代入y=x2+bx+c， 得4=(-2)2-2b+c，∴c=2b， ∴b，c满足的关系式是c=2b. (2)把c=2b代入y=x2+bx+c， 得y=x2+bx+2b， ∵顶点坐标是(m，n)， ∴n=m2+bm+2b， 且m=-2，即b=-2m， ∴n=-m2-4m. ∴n关于m的函数解析式为n=-m2-4m. (3)由(2)的结论，画出函数y=x2+bx+c和函数y=-x2-4x的图象. ?? ∵函数y=x2+bx+c的图象不经过第三象限，∴-4≤-≤0. 2?? ①当-4≤-2≤-2，即4≤b≤8时，如图①所示， ?? 当x=1时，函数取到最大值y=1+3b，当x=-时，函数取到最小值y= 2?? 8??-??24 ， ∴(1+3b)- 8??-??24 =16，即b2+4b-60=0，∴b1=6，b2=-10(舍去)； ②当-2<-2≤0，即0≤b<4时，如图②所示， ?? 当x=-5时，函数取到最大值y=25-3b，当x=-2时，函数取到最小值y=∴(25-3b)-8??-??24 ?? 8??-??24 ， =16，即b2-20b+36=0， ∴b1=2，b2=18(舍去). 综上所述，b的值为2或6. |类型4| 二次函数与平行四边形的综合 8.[2019·孝感节选] 如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，-4). (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，线段AC的长为 ，抛物线的解析式为 . (2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标.
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