在Rt?PBC中，PC?PB2?BC2?16?4?25，
且PB?BC?PC?BD?4?2?25?BD?BD?45. 545BD5?5?因此在Rt?PBD中，得sin?BPD?， PB45故直线PB与平面PAC所成角的正弦值为5. 5
19.解：（1）由题意，可知x?1?1?2?3?5?6?7??4， 6y?61?15?13?12?10?9?7??11. 6??x?x??y?y????3??4???2??2???1??1?1???1??2???2??3???4?=?34，
iii?16??i?1xi?x?2???3????2????1??12?22?32?28，
222所以b????x?x??y?y?iii?16??i?1?6xi?x?2??3417??， 2814所以a?y?bx?11??17111?4?， 147?故该葡萄每株收获量y关于它“相近”葡萄的株数x的线性回归方程为y??17111x?. 147y的方差为
s2?1?2222215?11???13?11???12?11???10?11???9?11?2??7?11???7. ??6?171111711194x??，可知当x?2时，y???2?， 147147794?10?1000?10000?13.43（万元）. 7（2）由y??因此总收入为
（3）由题知，x?2,3,4.
由（1）（2），知当x?2时，y?13.42，所以y?13；
当x?3时，y??51111171???12.21，所以y?12； 147143411177???11， 777当x?4时，y??即x?2,3,4时，与之相对应的y的值分别为13,12,11， 又P?y?13??P?x?2??41?， 164P?y?12??P?x?3??P?y?11??P?x?4??81?， 16241?， 164所以在所种葡萄中随机选取一株，它的收获量y的分布列为
111E?y??13??12??11??12.
424220.解：由题知抛物线C:x?4y的焦点为F?0,1?，设Ax1,y1，B?x2,y2?.
???x2?4y?x2?4kx?4a?0， 由??y?kx?a则??16k?a?0，且x1?x2?4k，x1x2??4a.
（1）若直线l过焦点F，则a?1，所以x1?x2?4k，x1x2??4. 由条件可知圆x??y?1??1的圆心为F?0,1?，半径为1，
22?2?又由抛物线定义可知AF?y1?1，BF?y2?1， 故可得AD?AF?1?y1，BE?BF?1?y2，
所以AD?BE?y1y2??kx1?1??kx2?1??k2x1x2?k?x1?x2??1??4k?4k?1?1.
22故AD?BE为定值1.
（2）假设存在点Q满足题意，设Q?0,y0?， 由x?4y?y?2112x，因此y'?x.
24若四边形APBQ为菱形，则AQ//BP，BQ//AP， 则kAQ?y1?y01y?y01?x2，kBQ?2?x1， x12x2211x1x2，y2?y0?x1x2，
22则y1?y0?则y1?y2，所以k?0，
此时直线AB的方程为y?kx?a?a，
???则抛物线在点A??2a,a?处的切线为y??所以A?2a,a，B2a,a. 联立①②，得P?0,?a?.
?ax?a，①
同理，抛物线在点B处的切线为y?ax?a，②
又线段AB的中点为R?0,a?，所以点Q?0,3a?.
即存在点Q?0,3a?，使得四边形APBQ为菱形，此时k?0.
221.解：（1）当a?2时，f?x??2?x?1??lnx?2x?4x?lnx?2.
2当x?1时，f?1??0，所以点P1,f?1?为P?1,0?， 又f'?x??4x?4???1，因此k?f'?1??1. x因此所求切线方程为y?0?1??x?1??y?x?1. （2）当a??1时，g?x??2lnx?x2?m， 则g'?x???2?x?1??x?1?2?2x?. xx因为x??,e?，所以当g'?x??0时，x?1， e且当
?1???1?x?1时，g'?x??0；当1?x?e时，g'?x??0； e故g?x?在x?1处取得极大值也即最大值g?1??m?1. 又g???m?2??1??e?1，g?e??m?2?e2， 2e11?1?g?e??g???m?2?e2?m?2?2?4?e2?2?0，
ee?e?则g?e??g??，所以g?x?在区间?,e?上的最小值为g?e?，
ee故g?x?在区间?,e?上有两个零点的条件是 e?1????1????1????g?1??m?1?01??1?m?2?， ??1?12e?g?e??m?2?e2?0???所以实数m的取值范围是?1,2???1?. 2?e?
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