考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质． 分析：（1）如图1，连接BF，由DE与⊙B相切于点F，得到BF⊥DE，通过
Rt△BAE≌Rt△BEF，得到∠1=∠2，同理∠3=∠4，于是结论可得；
（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，由△ABE≌△PBC，得到
PB=BE=，求出PF=，通过△AEG∽△CHD，列比例式即可得到结果．
解答：解： （1）如图1，连接BF，
∵DE与⊙B相切于点F， ∴BF⊥DE，
在Rt△BAE与Rt△BEF中，
，
∴Rt△BAE≌Rt△BEF， ∴∠1=∠2， 同理∠3=∠4， ∵∠ABC=90°， ∴∠2+∠3=45°， 即∠EBD=45°；
（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P， ∵∠4=15°，
由（1）知，∠3=∠4=15°， ∴∠1=∠2=30°，∠PBC=30°， ∵∠EAB=∠PCB=90°，AB=1， ∴AE=
，BE=
，
在△ABE与△PBC中，∴△ABE≌△PBC， ∴PB=BE=∴PF=∵∠P=60°， ∴DF=2﹣， ∴CD=DF=2﹣，
， ，
，
第17页（共20页）
∵∠EAG=∠DCH=45°， ∠AGE=∠BDC=75°， ∴△AEG∽△CHD， ∴
，
∴AG?CH=CD?AE， ∴AG?CH=CD?AE=（2﹣
）?
=
．
点评：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，画出
辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22．（9分）（2015?珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5
，且
=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直
x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．
角坐标系，抛物线l：y=﹣
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．
第18页（共20页）
考点：二次函数综合题． 分析：（1）由折叠和矩形的性质可知∠EDB=∠BCE=90°，可证得∠EDO=∠DBA，可证明
△ABD∽△ODE；
（2）由条件可求得OD、OE的长，可求得抛物线解析式，结合（1）由相似三角形的性质可求得DA、AB，可求得F点坐标，可得到BF=DF，又由直角三角形的性质可得MD=MB，可证得MF为线段BD的垂直平分线，可证得结论；
（3）过D作x轴的垂线交BC于点G，设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，可求得DM=DN=DG，可知点M、N为满足条件的点Q，可求得Q点坐标． 解答：（1）证明：
∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE， ∴∠BDE=∠BCE=90°， ∵∠BAD=90°，
∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°， ∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°， ∴△ABD∽△ODE； （2）证明：
∵=，
∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x， ∴CE=DE=5x，
∴AB=OC=CE+OE=8x， 又∵△ABD∽△ODE， ∴
=
=，
∴DA=6x，
∴BC=OA=10x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5解得x=1，
∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10， ∴抛物线解析式为y=﹣
x2+x+3，
）2=（10x）2+（5x）2，
当x=10时，代入可得y=， ∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=
，
=
=
，
在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF=∴BF=DF，
又M为Rt△BDE斜边上的中点， ∴MD=MB，
∴MF为线段BD的垂直平分线， ∴MF⊥BD； （3）解：
第19页（共20页）
由（2）可知抛物线解析式为y=﹣令y=0，可得0=﹣
x2+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为H、G，
x2+x+3，解得x=﹣4或x=12，
∴H（﹣4，0），G（12，0），
①当PD⊥x轴时，由于PD=8，DM=DN=8，
故点Q的坐标为（﹣4，0）或（12，0）时，△PDQ是以D为直角顶点的等腰直角三角形；
②当PD不垂直与x轴时，分别过P，Q作x轴的垂线，垂足分别为N，I，则Q不与G重合，从而I不与G重合，即DI≠8． ∵PD⊥DQ，
∴∠QDI=90°﹣∠PDN=∠DPN， ∴Rt△PDN∽Rt△DQI， ∵PN=8， ∴PN≠DI，
∴Rt△PDN与Rt△DQI不全等， ∴PD≠DQ，另一侧同理PD≠DQ．
综合①，②所有满足题设条件的点Q的坐标为（﹣4，0）或 （12，0）．
点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判
定和性质、垂直平分线的判定和抛物线与坐标轴的交点等知识．在（1）中利用折叠的性质得到∠EDB=90°是解题的关键，在（2）中，求得E、F的坐标，求得相应线段的长是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度适中．
第20页（共20页）
相关推荐：
loading