山东大学网络教育线性代数模拟题(A)
一．单选题.
1.下列（A）是4级偶排列．
（A） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 2. 如果
a11D?a21a31那么D1?（D）．
a12a22a32a134a112a11?3a122a21?3a222a31?3a32a13a23， a33a23?1，D1?4a21a334a31（A） 8； (B) ?12； (C) 24； (D) ?24．
3. 设A与B均为n?n矩阵，满足AB?O，则必有（C）．
（A）A?O或B?O；（B）A?B?O；
（C）A?0或B?0；（D）A?B?0．
4. 设A为n阶方阵(n?3)，而A是A的伴随矩阵，又k为常数，且k?0,?1，则必有?kA?**等于（B）．
（A）kA*；（B）kn?1A*；（C）knA*；（D）k?1A*． 5.向量组?1,?2,....,?s线性相关的充要条件是（C） （A）?1,?2,....,?s中有一零向量 (B) (C) (D)
?1,?2,....,?s中任意两个向量的分量成比例 ?1,?2,....,?s中有一个向量是其余向量的线性组合 ?1,?2,....,?s中任意一个向量都是其余向量的线性组合
6. 已知?1,?2是非齐次方程组Ax?b的两个不同解，?1,?2是Ax?0的基础解系，k1,k2为任意常数，则Ax?b的通解为（B） (A) k1?1?k2(?1??2)??1??22; (B) k1?1?k2(?1??2)??1??22
(C) k1?1?k2(?1??2)??1??22; (D)k1?1?k2(?1??2)?－
?1??227. λ＝2是A的特征值，则（A2/3）1的一个特征值是（B） (a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4
-1
8. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B-I|=(B)
(a)0 (b)24 (c)60 (d)120
9. 若A是（A），则A必有A??A．
（A）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵． 10. 若A为可逆矩阵，下列（A）恒正确． （A）?2A??2A?； (B)?2A? (C)(A)??1?2A?1；
?1??1?1????(A?)???1； (D) ?(A?)????(A?1)?1．
??二．计算题或证明题
1. 设矩阵
?3?A???k?4??2???1k? 2?3??－1
2(1)当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得PAP为对角矩阵？ (2)求出P及相应的对角矩阵。
参考答案：
2. 设n阶可逆矩阵A的一个特征值为λ，A*是A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/λ是A*的一个特征值。
3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．
?ax1?x2?x3?1??x1?ax2?x3?a ?x?x?ax?a223?1参考答案：
a?11(a?1)2,x2?,x3?. 当a?1,?2时有唯一解：x1?? a?2a?2a?2?x1?1?k1?k2? 当a?1时，有无穷多解：?x2?k1
?x?k2?3 当a??2时，无解。
4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．
?1??0??3??2??1?????????????1??3??0??1???1??1???,?2???,?3???,?4???,?5???
21752???????????4??2??14??6??0???????????参考答案：
5. 若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，试证：AB?BA是对称矩阵．
参考答案：
山东大学网络教育线性代数模拟题（B）
一．单选题.
1. 若(?1)N(1k4l5)a11ak2a43al4a55是五阶行列式aij的一项，则k、l的值及该项符号为（A）．
（A）k?2，l?3，符号为负； (B) k?2，l?3符号为正； (C) k?3，l?2，符号为负； (D) k?1，l?2，符号为正． 2. 下列行列式（A）的值必为零．
2n?n个； 阶行列式中，零元素个数多于n(A)
(B)
n阶行列式中，零元素个数小于n2?n个；
(C) n阶行列式中，零元素个数多于n个；
(D)n阶行列式中，零元素的个数小于n个．
3. 设A，B均为n阶方阵，若?A?B??A?B??A2?B2，则必有（ D ）． （A）A?I； (B)B?O； (C)A?B； (D)AB?BA． 4. 设A与B均为n?n矩阵，则必有（C）． （A）A?B?A?B；（B）AB?BA；（C）AB?BA；（D）?A?B?5. 如果向量?可由向量组?1,?2,....,?s线性表出，则（D/A）
(A) 存在一组不全为零的数k1,k2,....,ks，使等式??k1?1?k2?2?....?ks?s成立 (B) 存在一组全为零的数k1,k2,....,ks，使等式??k1?1?k2?2?....?ks?s成立 (C) 对?的线性表示式不唯一 (D) 向量组?,?1,?2,....,?s线性相关
6. 齐次线性方程组Ax?0有非零解的充要条件是（C） (A)系数矩阵A的任意两个列向量线性相关 (B) 系数矩阵A的任意两个列向量线性无关 (C )必有一列向量是其余向量的线性组合 (D)任一列向量都是其余向量的线性组合
－
7.设n阶矩阵A的一个特征值为λ，则(λA1)2＋I必有特征值（B）
22
(a)λ+1 (b)λ-1 (c)2 (d)-2
?1?A?1?B?1．
?32?1???8.已知 A??00a? 与对角矩阵相似，则a＝（ A）
?000??? (a) 0 ; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 2
9. 设A，B，C均为n阶方阵，下面（D）不是运算律．
（A）?A?B??C?(C?B)?A；（B）(A?B)C?AC?BC； （C）(AB)C?A(BC)； （D）(AB)C?(AC)B． 10. 下列矩阵（B）不是初等矩阵．
?001??100??100??100?????????(A)?010?；（B）?000?；（C）?020?；（D）?01?2?．
?100??010??001??001?????????二．计算题或证明题
1.已知矩阵A，求A10。其中A???参考答案：
?10?? ???12?
2. 设A为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ参考答案：
-1
是A的一个特征值。
-1
3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．
?ax1?x2?x3?a?3??x1?ax2?x3??2 ?x?x?ax??223?1` 参考答案：
当a?1,?2时有唯一解：x1??a?1?3?3,x2?,x3? a?2a?2a?2?x1??2?k1?k2? 当a?1时，有无穷多解：?x2?k1
?x?k2?3 当a??2时，无解。
4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．
?1??1??1???1??????????2??1??1??0??1???,?2???,?3???,?4???
3120?????????4??1??1??2?????????参考答案：
极大无关组为：a2,a3,a4，且a1?a2?a3?a4
5. 若A是对称矩阵，T是正交矩阵，证明T参考答案：
?1AT是对称矩阵．
山东大学网络教育线性代数模拟题（C）
一．单选题.
1. 设五阶行列式aij?m，依下列次序对aij进行变换后，其结果是（C）．
交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素．
（A）8m； (B)?3m； (C)?8m； (D)
1m． 4?3x?ky?z?0?4y?z?0有非零解，则（D）2. 如果方程组?． ?kx?5y?z?0? （A）k?0或k?1；（B）k?1或k?2；（C）k??1或k?1；（D）k??1或k??3．
3. 设A，B，C，I为同阶矩阵，若ABC?I，则下列各式中总是成立的有（A）． （A） BCA?I； (B)ACB?I； (C)BAC?I； (D)CBA?I． 4. 设A，B，C为同阶矩阵，且A可逆，下式（A）必成立． （A）若AB?AC，则B?C； (B) 若AB?CB，则A?C； (C) 若AC?BC，则A?B； (D) 若BC?O，则B?O． 5. 若向量组?1,?2,....,?s的秩为r，则（D） （A）必定r
(B)向量组中任意小于r个向量的部分组线性无关 (C )向量组中任意r个向量线性无关
(D)向量组中任意个r?1向量必定线性相关
6. 设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是（C）
(A)?1??2,?2??3,?3??1 ; (B) (C)
?1,?1??2,?3??2??1 ;
?1??2,?2??3,?3??1;(D) ?1??2,2?2??3,3?3??1 .
7. 设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，I为n阶单位矩阵，则（D） (a)λI-A＝λI-B (b)A与B有相同的特征值和特征向量
(c)A与B都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A与kI-B相似（k是常数）
8. 当（C）时，A为正交矩阵，其中
?ab?A???0c??
??(a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 . 9. 已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则向量组（A） (A) (B) (C)
?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关; ?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关;
?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关; ?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关.
?a1?A?b1?c?1a2b2c2a3??a1?3c1??b3???b1?c3???c1a2?3c2b2c2a3?3c3??b3?． c3??(D)
10. 当A?（B）时，有
?100??10?3??00?3??100?????????（A）?010?；（B）?010?；（C）?010?；（D）?010?．
??301??001??101??0?31?????????二．计算题或证明题
1. 设A～B,试证明
－－
(1)Am～Bm(m为正整数)（2）如A可逆，则B也可逆，且A1～B1 参考答案：
2. 如n阶矩阵A满足A=A，证明：A的特征值只能为0或-1。 参考答案：
3. 当a、b取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．
2
?x1?2x2?2x3?2x4?1?x2?x3?x4?1? ?x?x?x?3x?a234?1??x1?x2?x3?5x4?b参考答案：
?x1??1?k2?x?1?k?k?212 当a=0, b = －2时有解?
x?k1?3??x4?k24. 判断向量?能否被?1,?2,?3线性表出，若能写出它的一种表示法．
??8???2??3???5???????????3??7???5???6?，?????,??,??1?1?2?0?3?3? ?7???????????10??3???2???1?????????参考答案：
?不能被?1,?2,?3线性表示。
5. 若方阵A可逆，则A的伴随矩阵A也可逆，并求出A的逆矩阵． 参考答案： 证明（略），(A*)?1**?1A |A|
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