所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
第2讲 四种命题和充要条件
基础巩固题组
(建议用时：20分钟)
1．(2015·山东卷改编)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x＋x－m＝0有实根”的逆否命题
是______________．
解析 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x＋x－m＝0没有实根，则m≤0”． 答案 若方程x＋x－m＝0没有实根，则m≤0
2．“x＝1”是“x－2x＋1＝0”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充
要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．
解析 因为x－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x－2x＋1＝0”的充要条件． 答案 充要
3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，则“m∥β”是“α∥β ”的________
条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．
解析 m?α，m∥β α∥β，但m?α，α∥β?m∥β，∴“m∥β”是“α∥
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β ”的必要不充分条件．
答案 必要不充分
4．“若a≤b，则ac≤bc”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个
数是________．
解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题． 答案 2
5．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件(从“充分不必要”“必要不充
分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 解析 cos 2α＝0等价于cosα－sinα＝0， 即cos α＝±sin α.
由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立．
∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件． 答案 充分不必要
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6．(2017·安徽江南十校联考改编)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的
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x同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 1
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．
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解析 显然a＝0时，f(x)＝sin x－为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)
x＝0.
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又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝0.
－xx因此2a＝0，故a＝0.
所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件． 答案 充要 7．给出以下结论：
①命题“若x－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x－3x－4≠0”；②“x＝4”是“x－3x－4＝0”的充分条件；③命题“若m>0，则方程x＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m＋n＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若
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m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”．
则其中错误的是________(填序号)．
解析 ③中命题的逆命题为“若方程x＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，
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即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题．①②④均正确．
4答案 ③
8．设x∈R，则“1 分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 解析 由|x－2|<1，得1 9．已知命题p：x＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则实 数a的取值范围是________． 解析 由x＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1. 答案 [1，＋∞) 10．(2017·南京模拟)已知a，b都是实数，那么“a>b”是“ln a>ln b”的________ 条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 解析 由ln a>ln b?a>b>0?a>b，故必要性成立． 同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 2 22 2 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 当a＝1，b＝0时，满足a>b，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立． 答案 必要不充分 11．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x－4x<0}＝{x|0 2 2 N， 解得0 答案 (0,3) 12．下列命题中的真命题是________(填序号)． ①“若a>b，则a>b”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x<4，则－2 解析 ①原命题的否命题为“若a≤b，则a≤b”错误．②原命题的逆命题为：“若 2 2 2 2 2 x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2， 则x≥4”正确． 答案 ②③ 能力提升题组 (建议用时：10分钟) 13．(2016·四川卷改编)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 解析 若x>1且y>1，则x＋y>2.所以p?q；反之x＋y>2 x>1且y＝1，例如x＝3， 2 y＝0，所以qp. 因此p是q的充分不必要条件． 答案 充分不必要 14．(2017·苏北四市联考)已知m∈R，则“函数y＝2＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 解析 由y＝2＋m－1＝0，得m＝1－2，则m<1. 由于函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数， 所以0 因此“函数y＝2＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的必 xxxx同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 3 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 要不充分条件． 答案 必要不充分 ?1?x?15．已知集合A＝?x?＜2＜8，x∈R??2? ?? ?，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一?? 个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________． ???1x解析 A＝?x?＜2＜8，x∈R ??2? ?? ?＝{x|－1＜x＜3}， ?? ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A， ∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2. 答案 (2，＋∞) 16．(2016·泰州模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号)． ①“x＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要条件； ②命题：“?x∈R，sin x≤1”的否定是“?x0∈R，sin x0>1”； π ③“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题； 4④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0. 解析 ①中“x＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误． 对于②，命题：“?x∈R，sin x≤1”的否定是“?x0∈R，sin x0>1”，故②正确． ππ 对于③，“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝”，其为假44命题，故③错误． 1 对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝≠－log32， log23∴log32与log23不互为相反数，故④错误． 答案 ②s 2 2 同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 4
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