高数一试题及答案 

13. 设y是由方程y?1?xey确定的函数，求y? 解：两边对x求导得

y'?ey?xeyy'

ey整理得y'? y1?xe14. 讨论函数f(x)?2x3?9x2?12x?3的单调性并求其单调区间

解： f'(x)?6x2?18x?12

由f'(x)?6x?18x?12?0得x1?1,2x2?2

所以f(x)在区间(??,1)上单调增，在区间(1,2)上单调减，在区间(2,??)上单调增。

15.求证： ex?2x?1 证：令f(x)?ex?2x?1

因为f'(x)?ex?2?0得x?ln2，又因为f(ln2)?2?2ln2?1?0 所以f(x)?0。

16. 求函数f(x)?x(1?x)的间断点并确定其类型 3x?x解：由分母x?x3?0得间断点x?0,x??1。 因limf(x)?1知x?0是可去间断点；

x?01?x1?知x?1也是可去间断点

x?1x?11?x221?x1?知x??1也是可去间断点 因limf(x)?limx??1x??11?x22

因limf(x)?lim

四、解方程

1. 求方程ydx?(x?xy)dy?0的通解.

22

解 原方程可化为

dyy2 ， ?2dxxy?x上式右边分子分母同除x2得

y()2dy ?x，

dxy?1xydydu?u?x此为齐次方程，因而令u?，则代入上式得 dxdxxduu2? u?x， dxu?1dxu?1?du， xu两边积分得 lnx?u?lnu?lnC，

分离变量得

eu从而有 x?c，

uy用u?回代即得原方程的通解 y?Cex.

x

y2. yy???y?2?0

解：原方程可化为：

d(yy')?0 dx积分得：yy'?c1………………………………………………4分

dy2?c1 即dx积分得y2?c1x?c2………………………………………………8分

3. 求方程y???2y??y?x的一个特解.

2解 由于方程中q?1?0且P2(x)?x，故可设特解为

2 y?Ax?Bx?C,

?2

则 y???2Ax?B,y????2A. 代入原方程有

Ax2?(?4A?B)x?(2A?2B?C)?x2.

A?1??比较两边同次幂的系数得??4A?B?0，

?2A?2B?C?0?解得 A?1,B?4,C?6, 所以，所求的特解为

y??x2?4x?6. 4. 求方程y???5y??9y?5xe?3x的通解. 解 分两步求解.

（1） 求对应齐次方程的通解. 对应齐次方程 y???5y??9y?0, 特征方程为 r2?6r?9?0, 解得 r1?r2??3.

于是得到齐次方程y???5y??9y?0的通解为 Y?(C1?C2x)e?3x. （2） 求原方程的一个特解

因为???3是特征方程的重根,Pn(x)?5x是一次式，所以可设 y?x(Ax?B)e?2?3x,

2? x,?B??3x32?3Ax?(3?A3B)?x求导得 y??e????3x32 y???e??9Ax?(?18A?9B)x?(6A?12B)x?2B??,

代入原方程并约去e?3x得

6Ax?2B?5x, 比较等式两边的系数得 ??6A?5,

?2B?0

5?A??解得 ?6.

??B?0从而得原方程的一个特解 y??于是原方程的通解为

?3?3x y?y?Y?(x?C2x?C1)e.

53?3xxe. 656